Question

1．探索：如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AC交BD于點O，兩條對角線把梯形分割成4個小三角形，面積分別為S₁，S₂，S₃，S₄．
（1）若DC：AB=1：2，則S₁：S₂：S₃：S₄=1：2：4：2；
（2）你猜想S₁，S₂，S₃，S₄四個數(shù)之間存在的等量關(guān)系是S₁•S₃=S₂•S₄（寫出結(jié)果，不需證明）；
（3）如圖對于任意四邊形ABCD，S₁，S₂，S₃，S₄四個數(shù)之間上題的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由△ABO∽△CDO可得出相似比，進(jìn)而得出兩個三角形的面積比，再由等積變換可證明S₂=S₄，從而答案自然得出；
（2）注意到$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{CO}{AO}=\frac{{S}_{4}}{{S}_{3}}$，結(jié)論不言而喻；
（3）證明同（2）．

解答 解：（1）∵AB∥CD，
∴△ABO∽△CDO，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{AO}{CO}=\frac{BO}{DO}=2$，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{3}}=（\frac{CD}{AB}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，
∵$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{CO}{AO}=\frac{1}{2}$，
∴S₁：S₂：S₃=1：2：4，
∵S₁+S₂=S₁+S₄，
∴S₂=S₄，
∴S₁：S₂：S₃：S₄=1：2：4：2；
故答案為1：2：4：2；
（2）∵$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{CO}{AO}=\frac{{S}_{4}}{{S}_{3}}$，
∴S₁•S₃=S₂•S₄；
故答案為S₁•S₃=S₂•S₄；
（3）仍然成立．
∵$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{CO}{AO}=\frac{{S}_{4}}{{S}_{3}}$，
∴S₁•S₃=S₂•S₄．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等積變換，難度不大．事實上，本題所證結(jié)論正是小學(xué)奧數(shù)面積模型當(dāng)中的蝴蝶定理，記住此結(jié)論對于解決相關(guān)的面積問題有很大的幫助．