Question

2．如圖，在△ABC中，AB=5，BC=4，AC=3，點(diǎn)O在AC的延長(zhǎng)線上，且OC=4．
（1）試作出△ABC關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱的△A′B′C′；
（2）連接A′B，AB′，則四邊形ABA′B′是中心對(duì)稱圖形嗎？
（3）試求四邊形ABA′B′的面積．

Answer 1

分析 （1）作出△ABC及點(diǎn)O，然后找出點(diǎn)A、B、C關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)A′、B′、C′，然后順次連接即可．
（2）與證明四邊形ABA′B′是中心對(duì)稱圖形，只需推知四邊形ABA′B′是平行四邊形即可．
（3）根據(jù)S_{平行四邊形ABA′B′}=2S_△AA′B計(jì)算即可．

解答 解：（1）如圖所示，△A′B′C′即為所求的三角形．

（2）結(jié)論：四邊形ABA′B′是中心對(duì)稱圖形．
理由如下：∵∠BAA′=∠B′A′A，
∴AB∥A′B′，又∵AB=A′B′，
∴四邊形ABA′B′是平行四邊形，
∴四邊形ABA′B′是中心對(duì)稱圖形．
（3）∵四邊形ABA′B′是平行四邊形，
∴S_{平行四邊形ABA′B′}=2S_△AA′B，AO=OA′=7，AA′=14
∵AB=5，BC=4，AC=3，
∴AB²=BC²+AC²，
∴△ACB是直角三角形，
∴∠BCA=90°即BC⊥CA，
∴S_{平行四邊形ABA′B′}=2S_△AA′B=2×$\frac{1}{2}$×14×4=56．

點(diǎn)評(píng) 本題考查作圖旋轉(zhuǎn)變換、平行四邊形的判定、平行四邊形的面積等知識(shí)，理解中心對(duì)稱的定義是解決問題的關(guān)鍵，記住平行四邊形的對(duì)角線把平行四邊形分成兩個(gè)全等三角形，這兩個(gè)三角形面積相等，屬于中考常考題型．