Question

2．如圖，正方形ABCD中，F(xiàn)為AB邊上一點，過點A，C分別作DF的垂線，垂足為G和E，若AG=3，EG=1，則BF的長為$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 利用正方形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出DG的長進(jìn)而求出AD，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出答案．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADG+∠CDE=90°，
∵∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠ADG=∠DCE，
在△DEC和△AGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGD=∠DEC}\\{∠GDA=∠ECD}\\{AD=DC}\end{array}\right.$，
∴△DEC≌△AGD（AAS），
∴AG=DE=3，
∵EG=1，
∴DG=4，
∴AD=5，
∵∠ADF=∠GDA，∠AGD=∠DAF，
∴△ADG∽△FDA，
∴$\frac{AG}{AF}$=$\frac{DG}{AD}$，
即$\frac{3}{AF}$=$\frac{4}{5}$，
解得：AF=$\frac{15}{4}$，
∴BF=5-AF=5-$\frac{15}{4}$=$\frac{5}{4}$．
故答案為：$\frac{5}{4}$．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，得出AD的長是解題關(guān)鍵．