Question

9．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0．
（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）若方程兩根a，b滿足a²+b²-ab=13，求k的值；
（3）若△ABC的兩邊AB，AC的長是這個方程的兩個實數(shù)根，第三邊BC的長為5，當(dāng)△ABC是等腰三角形時，求k的值．

Answer 1

分析 （1）先計算出△=1，然后根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可得到結(jié)論；
（3）先利用公式法求出方程的解為x₁=k，x₂=k+1，然后分類討論：AB=k，AC=k+1，當(dāng)AB=BC或AC=BC時△ABC為等腰三角形，然后求出k的值．

解答 解：（1）∵△=（2k+1）²-4（k²+k）=1＞0，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）∵a，b為方程兩根∴a+b=2k+1，ab=k²+k，
∴a²+b²-ab=（a+b）²-3ab=（2k+1）²-3（k²+k）=13，
解得k₁=-4，k₂=3；

（3）解：一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0的解為x=$\frac{2k+1±\sqrt{1}}{2}$，即x₁=k，x₂=k+1，
∵k＜k+1，
∴AB≠AC．
當(dāng)AB=k，AC=k+1，且AB=BC時，△ABC是等腰三角形，則k=5；
當(dāng)AB=k，AC=k+1，且AC=BC時，△ABC是等腰三角形，則k+1=5，解得k=4，
綜合上述，k的值為5或4．

點評 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了三角形三邊的關(guān)系以及等腰三角形的性質(zhì)．