Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D為線段AC上的一點（不和點A、C重合），點E在線段BD的延長線，點F在線段BD上，連接CE、CF、AE，且∠ECF=90°，CE=CF，過點F作FG⊥BD分別交線段BC、線段AC的延長線于點P、G．

（1）如圖l，求證：AC=CG；
（2）如圖2，延長線段GF交線段AB于點H，連接DH，當(dāng)AH=BH時，求證：∠BHG=∠AHD．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）證明∠FCG=∠ECB，∠DBC=∠DGF；進而證明△BCE≌△GCF，問題即可解決．
（2）首先證明△BCE≌△GCF，得到AD=BP；證明△AHD≌△BHP，問題即可解決．

解答：解：（1）證明：如圖1
∵∠BCG=180°-∠ACB=90°=∠ECF
∴∠BCG+∠BCF=∠ECF+∠BCF，即∠FCG=∠ECB；
∵FG⊥BD，
∴∠DFG=90°，
∴∠DBC+∠BDG=90°，
又∵∠DGF+∠BDG=90°，
∴∠DBC=∠DGF；
在△BCE和△GCF中，

∠ECB=∠FCG ∠EBC=∠FGC CE=CF

，
∴△BCE≌△GCF（AAS），
∴CB=CG，
又∵AC=CB，
∴AC=CG．
（2）如圖2，證明：
在△BDC與△GPC中，

∠DCB=∠PCG CB=CG ∠DBC=∠PGC

，
∴△BDC≌△GPC（ASA），
∴CD=CP，而AC=BC，
∴AD=BP；
∵AC=BC，
∴∠A=∠B；
在△AHD與△BHP中，

AH=BH ∠HAD=∠HBP AD=BP

，
∴△AHD≌△BHP（SAS），
∴∠BHG=∠AHD．

點評：該題主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是深入分析、大膽猜測、合理推斷、科學(xué)論證．