Question

19．如圖，拋物線y=-x²+$\frac{7}{2}$x+2與y軸交于點(diǎn)A，與x軸的正半軸交于點(diǎn)B，作垂直于x軸的直線x=t，在第一象限交直線AB于M，交拋物線于N，求當(dāng)t取何值時(shí)，MN有最大值？最大值是多少？

Answer 1

分析 首先令y=-x²+$\frac{7}{2}$x+2=0，求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，根據(jù)題意求出直線AB的解析式，然后根據(jù)點(diǎn)N在拋物線上，點(diǎn)M在直線AB上，求出點(diǎn)N（t，-t²+$\frac{7}{2}$t+2），點(diǎn)M（t，-$\frac{1}{2}$t+2），列出MN關(guān)于t的一元二次方程，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求出最值．

解答 解：令y=-x²+$\frac{7}{2}$x+2=0，
則2x2-7x-4=0，
解得x=-$\frac{1}{2}$或x=4，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，0），
令x=0，則y=2，
則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
即直線AB的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
又知點(diǎn)N在拋物線上，點(diǎn)M在直線AB上，
則點(diǎn)N（t，-t²+$\frac{7}{2}$t+2），點(diǎn)M（t，-$\frac{1}{2}$t+2），
MN=-t²+$\frac{7}{2}$t+2-（-$\frac{1}{2}$t+2）=-t²+4t=-（t-2）²+4，
當(dāng)t=2時(shí)，MN有最大值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線與x軸交點(diǎn)的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是求出直線AB的解析式，此題難度不大．