Question

10．如圖，已知△ABC為直角三角形，按如下步驟作圖：
①分別以A，C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，兩弧交于P，Q兩點(diǎn)；
②作直線PQ，分別交AB，AC于點(diǎn)E，D，連接CE；
③過C作CF∥AB交PQ于點(diǎn)F，連接AF．
（1）求證：△AED≌△CFD；
（2）若∠ACB=90°，求證：四邊形AECF是正方形．

Answer 1

分析 （1）由作圖知：PQ為線段AC的垂直平分線，從而得到AE=CE，AD=CD，然后根據(jù)CF∥AB得到∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，利用ASA證得兩三角形全等即可；
（2）根據(jù)全等到AE=CF，然后根據(jù)EF為線段AC的垂直平分線，得到EC=EA，F(xiàn)C=FA，從而得到EC=EA=FC=FA，利用四邊相等的四邊形是菱形判定四邊形AECF為菱形，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由作圖知：PQ為線段AC的垂直平分線，
∴AE=CE，AD=CD，
∵CF∥AB
∴∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，
在△AED與△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAC=∠FCA}\\{AD=CD}\\{∠CFD=∠AED}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CFD；

（2）∵△AED≌△CFD，
∴AE=CF，
∵EF為線段AC的垂直平分線，
∴EC=EA，F(xiàn)C=FA，
∴EC=EA=FC=FA，
∴四邊形AECF為菱形，
∴EF⊥AC，
∴∠EDC=90°，
∴∠ACB=∠EDA=90°，
∴BC∥DE，
∴∠B=∠AED，
設(shè)∠B=α，
∴∠AED=α，
∵CE=AE，
∴∠EAC=∠ECA，
∴∠B=∠BCE，
∴∠CEA=∠B+∠BCE=2α，
∵∠EDA=∠ACF，
∴∠ACF+∠BCE=90°，
∵BC∥EF，
∴∠BCE=∠CEF，
∵∠CEF=∠CFE，
∴∠CFD+BCE=90°，
∴2∠CFD=90°，
∴∠CFD=45°，
∴CFA=2∠CFD=90°，
∴四邊形AECF是正方形．

點(diǎn)評 本題考查了菱形的判定、全等的判定與性質(zhì)及基本作圖，解題的關(guān)鍵是了解通過作圖能得到線段的垂直平分線．