Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△ABO的邊AB垂直于x軸，垂足為點(diǎn)B，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過AO的中點(diǎn)C，且與AB相交于點(diǎn)D，OB=4，AD=3
（1）求反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的解析式；
（2）若直線y=-x+m與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象相交于兩個(gè)不同點(diǎn)E、F（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊），與y軸相交于點(diǎn)M
①則m的取值范圍為m＞4（請(qǐng)直接寫出結(jié)果）
②求ME•MF的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)D的坐標(biāo)是（4，a），則A的坐標(biāo)是（4，a+3），由點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)，可用含a的代數(shù)式表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可找出4a=2×$\frac{a+3}{2}$=k，解之即可得出a、k的值，進(jìn)而即可得出反比例函數(shù)的解析式；
（2）①將一次函數(shù)解析式代入反比例函數(shù)解析式中，整理后可得出關(guān)于x的一元二次方程，由m＞0以及根的判別式△＞0，即可得出關(guān)于m的不等式組，解之即可得出結(jié)論；
②由一次函數(shù)解析式可得出∠MEG=∠MFH=45°，進(jìn)而可得出ME=$\sqrt{2}$GE、MF=$\sqrt{2}$HF，將一次函數(shù)解析式代入反比例函數(shù)解析式中，由根與系數(shù)的關(guān)系可得出x_E•x_F=4，進(jìn)而可得出ME•MF=2x_E•x_F=8，此題得解．

解答 解：（1）設(shè)D的坐標(biāo)是（4，a），則A的坐標(biāo)是（4，a+3）．
又∵點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2，$\frac{a+3}{2}$），
∴4a=2×$\frac{a+3}{2}$=k，
解得a=1，k=4，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{4}{x}$；

（2）①將y=-x+m代入y=$\frac{4}{x}$中，-x+m=$\frac{4}{x}$，
整理，得：x²-mx+4=0，
∵直線y=-x+m與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象相交于兩個(gè)不同點(diǎn)E、F，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△={m}^{2}-16＞0}\end{array}\right.$，
解得：m＞4．
故答案為：m＞4．
②過點(diǎn)E、F分別作y軸的垂線，垂足分別為G、H．
由y=-x+m可知：∠MEG=∠MFH=45°，
∴ME=$\sqrt{2}$GE，MF=$\sqrt{2}$HF．
由y=-x+m=$\frac{4}{x}$，得x²-mx+4=0，
∴x_E•x_F=4，
∴ME•MF=2x_E•x_F=8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征找出4a=2×$\frac{a+3}{2}$=k；（2）①利用根的判別式△＞0結(jié)合m＞0，找出關(guān)于m的不等式組；②利用根與系數(shù)的關(guān)系找出x_E•x_F=4．