Question

如圖1，已知∠AOC=2∠BOC，∠AOC的余角比∠BOC小30°，
（1）求∠COB的度數(shù)；
（2）經(jīng)過點(diǎn)O作射線OD，使得∠AOC=4∠AOD，求∠BOD的度數(shù)；
（3）如圖2，在∠AOB的內(nèi)部作∠EOF，OM、ON分別為∠AOE和∠BOF的平分線，當(dāng)∠EOF繞點(diǎn)O在∠AOB的內(nèi)部轉(zhuǎn)動時，請說明∠AOB+∠EOF=2∠MON．

Answer 1

考點(diǎn)：角的計(jì)算,角平分線的定義

專題：

分析：（1）設(shè)∠BOC=x，則∠AOC=2x，根據(jù)，∠AOC的余角比∠BOC小30゜列方程求解即可；
（2）分兩種情況：①當(dāng)射線OD在∠AOC內(nèi)部②當(dāng)射線OD在∠AOC外部，分別求出∠BOD的度數(shù)即可；
（3）OM、ON分別為∠AOE和∠BOF的平分線，可得∠MOE=

1

2

∠AOE，∠FON=

1

2

∠BOF，所以∠MON=∠EOF+

1

2

（∠AOE+∠BOF），即可得2∠MON=2∠EOF+∠AOE+∠BOF=∠AOB+∠EOF．

解答：解：（1）設(shè)∠BOC=x，則∠AOC=2x，
依題意列方程90°-2x=x-30°，
解得：x=40°，
即∠COB=40゜．
（2）由（1）得，∠AOC=80°，∠AOB=∠AOC+∠BOC=120°，
①當(dāng)射線OD在∠AOC內(nèi)部時，∠AOD=20゜，
則∠BOD=∠AOB-∠AOD=120°-20°=100°；
②當(dāng)射線OD在∠AOC外部時，∠AOD=20゜
則∠BOD=∠AOB+∠AOD=120゜+20°=140°；
（3）∵OM、ON分別為∠AOE和∠BOF的平分線，
∴∠MOE=

1

2

∠AOE，∠FON=

1

2

∠BOF，
∴∠MON=∠EOF+

1

2

（∠AOE+∠BOF），
∴2∠MON=2∠EOF+∠AOE+∠BOF=∠AOB+∠EOF．
即∠AOB+∠EOF=2∠MON．

點(diǎn)評：本題考查了角平分線的定義以及角的計(jì)算，還用到了方程的思想．注意（2）要根據(jù)射線OD的位置不同，分類討論，分別求出∠BOD的度數(shù)．