Question

13．如圖，點(diǎn)A（2，0），以O(shè)A為半徑在第一象限內(nèi)作圓弧AB，使∠AOB=60°，點(diǎn)C為弧AB的中點(diǎn)，D為半徑OA上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O，A重合），點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)為E，若點(diǎn)E落在半徑OA上，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（$2\sqrt{3}-2，0$）；若點(diǎn)E落在半徑OB上，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}-1$，$3-\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)點(diǎn)E落在半徑OA上．可以畫出相應(yīng)的圖形，可知點(diǎn)A與點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)CD對(duì)稱，從而可以得到DE=DA，由點(diǎn)C為弧AB的中點(diǎn)，∠AOB=60°，OC=OA=2，可以求得OD和AD的長，從而可以求得OE的長，進(jìn)而得到點(diǎn)E的坐標(biāo)；
根據(jù)點(diǎn)E落在半徑OB上，畫出相應(yīng)的圖形，由D為半徑OA上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O，A重合），點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)為E，可知CB=CE，由前面求得的OE的長與此時(shí)OE的長相等，根據(jù)∠AOB=60°，可以求得點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答 解：當(dāng)點(diǎn)E落在半徑OA上時(shí)，連接OC，如下圖1所示，
∵∠ADC=90°，∠AOB=60°，點(diǎn)C為弧AB的中點(diǎn)，點(diǎn)A（2，0），
∴∠COD=30°，OA=OC=2，
∴CD=OC•sin30°=2×$\frac{1}{2}=1$，
∴OD=OC$•cos30°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
∴AD=OA-OD=2-$\sqrt{3}$，
∵DE=DA，
∴OE=OD-OE=$\sqrt{3}$-（2-$\sqrt{3}$）=2$\sqrt{3}-2$，
即點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}-2$，0）；
當(dāng)點(diǎn)E落在半徑OB上時(shí)，連接OC，CD，如圖2所示，

由已知可得，CE=CA=CB，
由上面的計(jì)算可知，OE=2$\sqrt{3}-2$，
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為：$（2\sqrt{3}-2）×cos60°=\sqrt{3}-1$，
點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為：（2$\sqrt{3}-2$）×sin60°=3-$\sqrt{3}$，
故答案為：（$2\sqrt{3}-2$，0）；（$\sqrt{3}-1，3-\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的綜合題、特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是明確題意，畫出相應(yīng)的圖形，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．