Question

已知二次函數(shù)y=x²-（m-1）x+m²-2m-3，其中m為實(shí)數(shù)，圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）怎樣平移此函數(shù)圖象，使它在x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大，在x＜2時(shí)，y隨x的增大而減��？

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)圖象與幾何變換

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，把原點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式得到m²-2m-3=0，解m的一元二次方程得到m₁=3，m₂=-1，于是可確定二次函數(shù)解析式；
（2）先根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定平移后二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2，再把（1）中的解析式配成頂點(diǎn)式y(tǒng)=（x-1）²-1或y=（x+1）²-1，然后根據(jù)二次函數(shù)圖象與幾何變換的規(guī)律求解．

解答：解：（1）把（0，0）代入得m²-2m-3=0，解得m₁=3，m₂=-1，
所以二次函數(shù)解析式為y=x²-2x或y=x²+2x；
（2）因?yàn)槠揭坪蟮亩�次函�?shù)當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大，在x＜2時(shí)，y隨x的增大而減小，
所以平移后的二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2，
對(duì)于二次函數(shù)y=x²-2x=（x-1）²-1，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1，所以把y=x²-2x向右平移1個(gè)單位；
對(duì)于二次函數(shù)y=x²+2x=（x+1）²-1，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-1，所以把y=x²-2x向右平移3個(gè)單位．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線(xiàn)上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來(lái)求解．也考查了軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題．