Question

4．己知關(guān)于x的方程x²-（k+2）x+$\frac{1}{4}$k²+1=0的兩根x₁，x₂是一個矩形兩邊的長．
（1）k取何值時，方程的兩根x₁，x₂都是正數(shù)．
（2）當(dāng)矩形的對角線長是2$\sqrt{3}$時，求k的值？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)△≥0，以及x₁+x₂=k+2＞0，列出不等式組即可解決問題．
（2）根據(jù)x₁²+x₂²=12，x₁+x₂=k+2，x₁x₂=$\frac{1}{4}$k²+1，轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程即可解決問題．注意第一個問題中k的條件的作用．

解答 解：（1）由題意$\left\{\begin{array}{l}{（k+2）^{2}-4（\frac{1}{4}{k}^{2}+1）≥0}\\{k+2＞0}\end{array}\right.$解得k≥0．
故k≥0時，方程的兩根x₁，x₂都是正數(shù)．
（2）∵x₁²+x₂²=12，x₁+x₂=k+2，x₁x₂=$\frac{1}{4}$k²+1，
∴（k+2）²-2（$\frac{1}{4}$k²+1）=12，
∴k=-10或2，
∵k≥0，
∴k=2．

點(diǎn)評 本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，不等式組的解，根的判別式等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識解決問題，學(xué)會整體代入的思想解決問題，屬于中考常考題型．