Question

如圖，已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=3cm，BC=6cm．某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度沿著矩形的邊逆時(shí)針勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從D點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度沿著矩形的邊逆時(shí)針勻速運(yùn)動(dòng)．N、M第一次重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，問：
（1）當(dāng)t=

 

時(shí)，N、M第一次重合并停止運(yùn)動(dòng)．
（2）當(dāng)N在AD上，M在AB上，求△AMN的面積等于矩形ABCD面積的

1

9

時(shí)的t值．
（3）求出AC⊥MN時(shí)的t值．
（4）是否存在時(shí)刻t，使以A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似？若存在，直接寫出所有符合條件的t值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則N運(yùn)動(dòng)的路程是2tcm，M運(yùn)動(dòng)的路程是tcm，根據(jù)當(dāng)N、M第一次重合時(shí)，得出2t-t=6，再求出t的值即可，
（2）當(dāng)N在AD上，M在AB上時(shí)，根據(jù)△AMN的面積等于矩形ABCD面積的

1

9

，得出

1

6

（6-2t）t=

1

9

×6×3，再解方程即可，
（3）當(dāng)AC⊥MN時(shí)，可證出△MNA∽△ACD，得出

AM

AN

=

DA

DC

，

t

6-2t

=

6

3

，再解方程即可，
（4）當(dāng)N在AD上，M在AB上時(shí)，若根據(jù)（3）可得t=

12

5

，若△NMA∽△ACD，則

NA

AD

=

MA

CD

，

6-2t

6

=

t

3

，當(dāng)N在AB上，M在BC上時(shí)，若△BMN∽△DAC，則

BN

DC

=

BM

DA

，

9-2t

3

=

9-t

6

，再分別求出t的值即可．

解答：解：（1）∵動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度沿著矩形的邊逆時(shí)針勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從D點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度沿著矩形的邊逆時(shí)針勻速運(yùn)動(dòng)，
∴設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則N運(yùn)動(dòng)的路程是2tcm，M運(yùn)動(dòng)的路程是tcm，
∴當(dāng)N、M第一次重合時(shí)，2t-t=6，
t=6，
故答案為：6；

（2）當(dāng)N在AD上，M在AB上時(shí)，AN=（6-2t）cm，AM=tcm，
則

1

6

（6-2t）t=

1

9

×6×3，
解得：t₁=1，t₂=2，
當(dāng)N在AD上，M在AB上，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的

1

9

時(shí)t=1或2；

（3）如圖1，當(dāng)AC⊥MN時(shí)，
則∠MNA=∠ACD，
∵∠CDA=∠MAN，
∴△MNA∽△ACD，
∴

AM

AN

=

DA

DC

，
∴

t

6-2t

=

6

3

，
t=

12

5

；

（4）當(dāng)N在AD上，M在AB上時(shí)，若根據(jù)（3）可得若△MNA∽△ACD，t=

12

5

，
如圖2，若△NMA∽△ACD，則

NA

AD

=

MA

CD

，

6-2t

6

=

t

3

，
t=

3

2

，
如圖3，當(dāng)N在AB上，M在BC上時(shí)，若△BMN∽△DAC，則

BN

DC

=

BM

DA

，

9-2t

3

=

9-t

6

，
t=

9

2

．
答：存在時(shí)刻t使以A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似，所有符合條件的t是

3

2

或

12

5

或

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似形綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是綜合運(yùn)用有關(guān)性質(zhì)列出關(guān)于t的方程，注意分三種情況討論．