Question

18．已知⊙O的面積2π，則其內接正三角形的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 先求出正三角形的外接圓的半徑，再求出正三角形的邊長，最后求其面積即可．

解答 解：如圖所示，
連接OB、OC，過O作OD⊥BC于D，
∵⊙O的面積為2π
∴⊙O的半徑為$\sqrt{2}$
∵△ABC為正三角形，
∴∠BOC=$\frac{360°}{3}$=120°，∠BOD=$\frac{1}{2}$∠BOC=60°，OB=$\sqrt{2}$，
∴BD=OB•sin∠BOD=$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴BC=2BD=$\sqrt{6}$，
∴OD=OB•cos∠BOD=$\sqrt{2}$•cos60°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴△BOC的面積=$\frac{1}{2}$•BC•OD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{6}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴△ABC的面積=3S_△BOC=3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題考查的是三角形的外接圓與外心，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結合求解是解答此題的關鍵．