Question

20．平行四邊形ABCD，∠B是銳角，將△ACD沿對角線AC折疊，點D落在△ABC所在平面內點E處．
（1）求證：BF=EF．
（2）如果AE恰好過BC的中點F，連接BE，判斷四邊形ABEC的形狀，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是平行四邊形，得到AD=BC，AD∥BC，于是得到∠DAC=∠ACB，根據將△ACD沿對角線AC折疊得到△ACE，于是得到AE=AD，∠DAC=∠EAC，然后根據等量代換得到結果；
（2）由（1）證得：AF=CF，BF=EF，根據已知條件BF=CF，于是得到BF=AF=CF=EF，即可得到結論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵將△ACD沿對角線AC折疊得到△ACE，
∴AE=AD，∠DAC=∠EAC，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AF=CF，
∴BF=BC-CF，EF=AE-AF，
∴BF=EF；

（2）解：四邊形ABEC是矩形，
由（1）證得：AF=CF，BF=EF，
∵BF=CF，
∴BF=AF=CF=EF，
∴四邊形ABEC是矩形．

點評 本題考查了翻折變換-折疊問題，平行四邊形的性質，矩形的判定，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．