Question

18．如圖，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+（6-4k）（其中k為正整數）與x軸相交于兩個不同的點A、B（點A位于點B的左側），與y軸相交于點C，連結AC、BC．
（1）求k的值；
（2）如圖①，設點D是線段AC上的一動點，作DE⊥x軸于點F，交拋物線于點E，求線段DE長度的最大值；
（3）如圖②，拋物線上是否存在點M，過點M作MN垂直x軸于點N，使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據函數圖象與x軸有兩個交點，可得判別式大于零，根據解不等式，可得答案；
（2）根據平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得答案；
（3）根據兩個角對應相等得兩個三角形相似，可得P₁，根據拋物線的對稱性，可得P₂，根據對應邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似，可得關于n的方程，根據解方程，可得答案．

解答 解：（1）拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+（6-4k）（其中k為正整數）與x軸相交于兩個不同的點A、B，得
-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+（6-4k）=0，
△=b²-4ac=（-$\frac{3}{2}$）²-4×（-$\frac{1}{2}$）×（6-4k）＞0，
解得k＜$\frac{57}{32}$，
∵k為正整數，
∴k=1；
（2）如圖1，

由-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2=0，解得x₁=-4，x₂=1，
∴點A（-4，0），B（1，0）．
令x=0，得y=2，
∴點C的坐標為（0，2）．
設直線AC的解析式為y=ax+b，則$\left\{\begin{array}{l}{-4a+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
直線AC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+2，
設E（m，-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2），D（m，$\frac{1}{2}$m+2），
DE=-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2-（$\frac{1}{2}$m+2）=-$\frac{1}{2}$m²-2m=-$\frac{1}{2}$（m+2）²+2，
當m=-2時，線段DE長度的最大值是2；
（3）如圖2，
，
在Rt△AOC中，AC=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，在Rt△BOC中，BC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵AC²+BC²=20+5=25=AB²，
∴∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴△ABC∽△AOC∽△CBO，
①若點M在x軸上方時，當M點與C點重合，即M（0，2）時，△MAN∽△BAC．
根據拋物線的對稱性，當M（-3，2）時，△MAN∽△ABC；
②若點M在x軸的下方時，設N（n，0），則M（n，-$\frac{1}{2}$n²-$\frac{3}{2}$n+2），
∴MN=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n-2，AN=n+4，
當$\frac{MN}{BC}$=$\frac{AN}{AC}$，即$\frac{MN}{AN}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{1}{2}$時，MN=$\frac{1}{2}$AN，即$\frac{1}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n-2=$\frac{1}{2}$（n+4），化簡，得
n²+2n-8=0，
n₁=-4（舍），n₂=2，M（2，-3）；
當$\frac{MN}{AC}$=$\frac{AN}{BC}$，即$\frac{MN}{AN}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=$\frac{2}{1}$時，MN=2AN，即$\frac{1}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n-2=2（n+4）化簡，得
n²-n-20=0，解得
n₁=-4（舍去），n₂=5，M（5，-18），
綜上所述：存在點M₁（0，2），M₂（-3，2），M₃（2，-3），M₄（5，-18），使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似．

點評 本題考查了二次函數綜合題，利用方程得解得出判別式的不等式是解題關鍵；利用平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標是解題關鍵；利用相似三角形的對應變得比相等得出方程是解題關鍵，要分類討論，以防遺漏．