Question

5．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)．若動點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿著A→B→A的方向運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t（s）（0≤t≤3），連接EF，當(dāng)t為1s或3s或$\frac{7}{4}$s或$\frac{9}{4}$s時，△BEF是直角三角形．

Answer 1

分析 先利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AC=2$\sqrt{3}$，AB=4，然后討論：當(dāng)∠BFE=90°時，則EF∥AC，則可利用EF為△ABC的中位線得到AE=$\frac{1}{2}$AB=2，于是可計算出t=1（s）或t=3（s）；當(dāng)∠FEB=90°，則證明△BEF∽△BCA，利用相似比可計算出BE=$\frac{1}{2}$，則AE=$\frac{7}{2}$，于是可計算出t=$\frac{7}{4}$（s）或t=$\frac{9}{4}$（s）．

解答 解：∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，
∴AC=$\sqrt{3}$BC=2$\sqrt{3}$，AB=2BC=4，
當(dāng)∠BFE=90°時，則EF∥AC，
∵F是BC的中點(diǎn)，
∴EF為△ABC的中位線，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴t=$\frac{2}{2}$=1（s）或t=$\frac{4+2}{2}$=3（s）；
當(dāng)∠FEB=90°，
∵∠FBE=∠ABC，∠BEF=∠C，
∴△BEF∽△BCA，
∴$\frac{BE}{BC}$=$\frac{BF}{BA}$，即$\frac{BE}{2}$=$\frac{1}{4}$，解得BE=$\frac{1}{2}$，
∴AE=4-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$，
∴t=$\frac{\frac{7}{2}}{2}$=$\frac{7}{4}$（s）或t=$\frac{4+\frac{1}{2}}{2}$=$\frac{9}{4}$（s），
綜上所述，t的值為1s或3s或$\frac{7}{4}$s或$\frac{9}{4}$s．
故答案為1s或3s或$\frac{7}{4}$s或$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；在利用相似三角形的性質(zhì)時，主要利用相似比計算線段的長．