Question

1．（1）觀察下面各式規(guī)律：
1²+（1×2）²+2²=（1×2+1）²；
2²+（2×3）²+3²=（2×3+1）²；
3²+（3×4）²+4²=（3×4+1）²；
…
寫出第n行的式子，并證明你的結論．
（2）計算下列各式，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？
①2001×2003-2002²；  ②99×101-100²； ③9999×10001-10000²．

Answer 1

分析 （1）仔細觀察各式的結構特征，不難發(fā)現(xiàn)式子的左側(cè)是連續(xù)兩整數(shù)及它們乘積的平方和，右側(cè)是它們的乘積與1的和的平方．然后，證明結論．
（2）根據(jù)平方差公式，可得答案，根據(jù)計算，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：一個數(shù)加1乘以這個數(shù)減1比這個數(shù)的平方小1．

解答 解：（1）第n個式子：n²+[n（n+1）]²+（n+1）²=[n（n+1）+1]²，
證明：因為左邊=n²+[n（n+1）]²+（n+1）²，
=n²+（n²+n）²+（n+1）²，
=（n²+n）²+2n²+2n+1，
=（n²+n）²+2（n²+n）+1，
=（n²+n+1）²，
而右邊=（n²+n+1）²，
所以，左邊=右邊，等式成立；
（2）①原式=（2002-1）（2002+1）-2002²=2002²-1-2002²=-1；
②原式=（100--1）（100+1）-100²=100²-1-100²=-1；
③原式=（10000-1）（10000+1）-10000²=10000²-1-10000²=-1，
規(guī)律：一個數(shù)加1乘以這個數(shù)減1比這個數(shù)的平方小1．

點評 此題考查了完全平方公式，關鍵是湊成（n²+n）²+2（n²+n）+1的形式，考查了學生對完全平方公式的變形應用能力．