Question

如圖，已知AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC，AC于D，E兩點，F(xiàn)為CE的中點，連接DF，DE．
（1）求證：△DEF為等腰三角形；
（2）判斷DF與⊙O的位置關系并說明理由．

Answer 1

考點：切線的判定,等腰三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質，由AB=AC得∠B=∠C，再根據(jù)圓內接四邊形的性質得∠DEC=∠B，則∠DEC=∠C，于是根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結論；
（2）連結OD、AD，如圖，先根據(jù)圓周角定理得∠ADB=90°，在利用等腰三角形的性質得BD=CD，于是判定OD為△ABC的中位線，則OD∥AC，接著根據(jù)等腰三角形的性質，由△DEC為等腰三角形，F(xiàn)為CE的中點得到DF⊥CE，所以OD⊥DF，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到DF為⊙O的切線．

解答：（1）證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠DEC=∠B，
∴∠DEC=∠C，
∴△DEC為等腰三角形；
（2）解：DF與⊙O相切．理由如下：
連結OD、AD，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵OA=OB，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∵△DEC為等腰三角形，F(xiàn)為CE的中點，
∴DF⊥CE，
∴OD⊥DF，
∴DF為⊙O的切線．

點評：本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了等腰三角形的判定與性質．