Question

8．在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，經(jīng)過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)O的直線EF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，連接AF、CE．
（1）如圖（1），依據(jù)下列條件在普通四邊形、梯形、普通平行四邊形、矩菱形或正方形中選擇填空：旋轉(zhuǎn)過(guò)程中四邊形AFCE始終為平行四邊形；
當(dāng)點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)時(shí)四邊形AFCE為平行四邊形；
當(dāng)EF⊥AC時(shí)四邊形AFCE為菱形；
（2）如圖（1），當(dāng)EF⊥AC時(shí)，求AF的長(zhǎng)；
（3）如圖（2），在（2）的基礎(chǔ)上，若動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿A→F→B→A運(yùn)動(dòng)一周停止，速度為每秒5厘米；同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿C→D→E→C運(yùn)動(dòng)一周停止，速度為每秒4厘米，在P、Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，第幾秒時(shí)，四邊形APCQ是平行四邊形？

Answer 1

分析 （1）由AAS證明△AOE≌△COF，得出AE=CF，即可得出四邊形AFCE為平行四邊形；當(dāng)點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AFCE為平行四邊形；當(dāng)EF⊥AC時(shí)，得出四邊形AFCE為菱形．
（2）根據(jù)勾股定理得出方程，解方程即可求AF的長(zhǎng)；
（3）分情況討論可知，P點(diǎn)在BF上，Q點(diǎn)在ED上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列出方程求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AFCE為平行四邊形；理由如下：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE．
在△AOE和△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠ACB}&{\;}\\{∠AEF=∠CFE}&{\;}\\{OA=OC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE=CF．
又∵AE∥CF，
∴四邊形AFCE為平行四邊形；
當(dāng)點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)時(shí)，AE=CF，AE∥CF，
則四邊形AFCE為平行四邊形；
當(dāng)EF⊥AC時(shí)，四邊形AFCE為菱形，理由如下：
∵由①知四邊形AFCE為平行四邊形，
∵EF⊥AC，
∴四邊形AFCE為菱形；
故答案為：平行四邊形；平行四邊形；菱形．

（2）解：設(shè)菱形的邊長(zhǎng)AF=CF=xcm，則BF=（8-x）cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，
由勾股定理得：AB²+BF²=AF²，
即4²+（8-x）²=x²，
解得：x=5，
∴AF=5；

（3）解：根據(jù)題意得，P點(diǎn)AF上時(shí)，Q點(diǎn)CD上，此時(shí)A，C，P，Q四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形；
同理P點(diǎn)AB上時(shí)，Q點(diǎn)DE或CE上，也不能構(gòu)成平行四邊形．
∴只有當(dāng)P點(diǎn)在BF上，Q點(diǎn)在ED上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，
∴以A，C，P，Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，
PC=QA，
∵點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，
∴PC=5t，QA=12-4t，
∴5t=12-4t，
解得：t=$\frac{4}{3}$，
∴以A，C，P，Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，t=$\frac{4}{3}$秒．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定及性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定及性質(zhì)等知識(shí)；解答時(shí)分析清楚動(dòng)點(diǎn)在不同的位置所構(gòu)成的圖形形狀是解答本題的關(guān)鍵．