Question

如圖，線段AB在直線l上，點(diǎn)C是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，AD⊥AB，AD=AB，CE⊥CD，BE⊥BD．
（1）如圖1，試判斷線段CD和線段CE的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）如圖2，過點(diǎn)C作CF⊥BD于F，則線段DF、CF、BE之間是否存在某種數(shù)量關(guān)系？它們的關(guān)系是：

 

；
（3）如圖3，過點(diǎn)C作CF⊥BE于F，則線段DB、CF、EF之間是否存在某種數(shù)量關(guān)系？它們的關(guān)系是

 

．
從（2）、（3）兩個(gè)結(jié)論中任意選取一個(gè)，給出你的證明．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）過點(diǎn)C作CH⊥AB交BD于H，判斷出△BCH是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得BC=CH，∠CBH=∠CHB=45°，然后求出∠CBE=∠CHD=135°，再根據(jù)等角的余角相等求出∠E=∠CDH，然后利用“角角邊”證明△BCE和△HCD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CE=CD；
（2）過點(diǎn)C作CH⊥AB交BD于H，同（1）可得△BCE和△HCD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DH=BE，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得FH=CF，然后根據(jù)DF=DH+FH等量代換即可得證；
（3）過點(diǎn)C作CH⊥AB交BD于H，同（1）可得△BCD和△HCE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DB=HE，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得FH=CF，然后根據(jù)EF=EH+FH等量代換即可得證．

解答：（1）證明：如圖，過點(diǎn)C作CH⊥AB交BD于H，
∵AD⊥AB，AD=AB，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD=45°，
∴△BCH是等腰直角三角形，
∴BC=CH，∠CBH=∠CHB=45°，
∵BE⊥BD，
∴∠CBE=∠CHD=135°，
∵CE⊥CD，BE⊥BD，
∴∠E=∠CDH，
在△BCE和△HCD中，

∠E=∠CDH ∠CBE=∠CHD=135° BC=CH

，
∴△BCE≌△HCD（AAS），
∴CE=CD；


（2）解：過點(diǎn)C作CH⊥AB交BD于H，同（1）可得△BCE和△HCD全等，
所以DH=BE，
∵△BCH是等腰直角三角形，CF⊥BD，
∴FH=CF，
∵DF=DH+FH，
∴DF=BE+CF；

（3）解：過點(diǎn)C作CH⊥AB交BD于H，同（1）可得△BCD和△HCE全等，
所以，DB=HE，
∵△BCH是等腰直角三角形，CF⊥BD，
∴FH=CF，
∵EF=EH+FH，
∴EF=DB+CF．
故答案為：（2）DF=BE+CF；（3）EF=DB+CF．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形和等腰直角三角形，此類題目，各小問的求解思路相同是解題的關(guān)鍵．