Question

9．如圖①，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，∠ADE=∠ABC．
初步感知：將圖①中△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度，當(dāng)α=180°時(shí)，如圖②，易知△ABE和△ADC的面積相等．（不用證明）
深入探究：將圖①中的△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針α度，當(dāng)0°＜α＜180°時(shí)，如圖③，猜想△ABE和△ADC的面積之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．
簡(jiǎn)單應(yīng)用：將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度，當(dāng)AB=5，AD=3時(shí)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，△ABE與△ADC面積的和達(dá)到的最大值為15．

Answer 1

分析 深入探究：作輔助線得到∠ANE=∠AMD=90°，再由旋轉(zhuǎn)得到的結(jié)論判斷出△ENA≌△DMA即可；
簡(jiǎn)單應(yīng)用：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中△ADE的面積始終保持不變，而在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，△ADC的AC始終保持不變，即可．

解答 初步感知
解：由旋轉(zhuǎn)可知，∠DAC=∠EAB，AD=AE，AC=AB；
在△DAC和△EAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠DAC=∠EAB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△EAB，
∴S_△DAC=S_△EAB，
∴△ABE和△ADC的面積相等；
深入探究
解：△ABE和△ADC的面積相等；
理由如下：過(guò)點(diǎn)D作PM⊥AC，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AB，
∴∠ANE=∠AMD=90°，
由旋轉(zhuǎn)有，∠EAD=∠CAB=90°，
∴∠EAM+∠DAM=90°，
∵∠EAN+∠EAM=90°，
∴∠EAN=∠DAM，
∵AE=AD，
∴△ENA≌△DMA，
∴EN=DM，
∵△ABE的面積為$\frac{1}{2}$AB×EN，△ADC的面積為$\frac{1}{2}$AC×DM，且AB=AC，
∴△ABE和△ADC的面積相等；
簡(jiǎn)單應(yīng)用
如圖

由旋轉(zhuǎn)可知，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中△ADE的面積始終保持不變，
∴△ABE與△ADC面積的和達(dá)到的最大，
∴△ADC面積最大，
∵在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，AC始終保持不變，
∴要△ADC面積最大，
∴點(diǎn)D到AC的距離最大，
∴DA⊥AC，
∴△ABE與△ADC面積的和達(dá)到的最大為2×$\frac{1}{2}$×AC×AD=5×3=15，
故答案為15．

點(diǎn)評(píng) 此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)和全等三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中面積變化分析，解本題的關(guān)鍵是三角形全等的判定．