Question

3．如圖，在扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半徑為r，點(diǎn)C在$\widehat{AB}$上，CD⊥OA，垂足為D，當(dāng)△OCD的面積最大時(shí)，$\widehat{AC}$的長(zhǎng)為$\frac{1}{4}πr$．

Answer 1

分析 由OC=r，點(diǎn)C在$\widehat{AB}$上，CD⊥OA，利用勾股定理可得DC的長(zhǎng)，求出OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}r$時(shí)△OCD的面積最大，∠COA=45°時(shí)，利用弧長(zhǎng)公示得到答案．

解答 解：∵OC=r，點(diǎn)C在$\widehat{AB}$上，CD⊥OA，
∴DC=$\sqrt{O{C}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{{r}^{2}-O{D}^{2}}$，
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}$OD•$\sqrt{{r}^{2}-O{D}^{2}}$，
∴S_△OCD²=$\frac{1}{4}$OD²•（r²-OD²）=-$\frac{1}{4}$OD⁴+$\frac{1}{4}$r²OD²=-$\frac{1}{4}$（OD²-$\frac{{r}^{2}}{2}$）²+$\frac{{r}^{4}}{16}$
∴當(dāng)OD²=$\frac{{r}^{2}}{2}$，即OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r時(shí)△OCD的面積最大，
∴∠OCD=45°，
∴∠COA=45°，
∴$\widehat{AC}$的長(zhǎng)為：$\frac{45°πr}{180°}$=$\frac{1}{4}$πr，
故答案為：$\frac{1}{4}πr$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了扇形的面積，勾股定理，求出OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}r$時(shí)△OCD的面積最大，∠COA=45°是解答此題的關(guān)鍵．