Question

15．如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線y₁=-x-l與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，與雙曲線y₂=$\frac{k}{x}$交于點(diǎn)C，連結(jié)OC，過點(diǎn)C作CM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，且OA=AM．則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（　　） 
①S_△CMO=1；②當(dāng)x＜0時(shí)，y₁隨x的增大而減小，y₂隨x的增大而増大；
③方程-x-1=$\frac{k}{x}$有一個(gè)解為x=-2；④當(dāng)-2＜x＜0，y_l＜y₂．

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 由直線可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合條件可求得M點(diǎn)、C點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得k的值，利用反比例函數(shù)k的幾何意義可判斷①；利用函數(shù)的增減性可判斷②，利用方程、函數(shù)和函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系可判斷③；結(jié)合圖象可判斷④．

解答 解：
在y₁=-x-l中，令y₁=0可得x=-1，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），
∵OA=AM，
∴OM=2，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），
∵CM⊥x軸，且C點(diǎn)在雙曲線上，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，$\frac{k}{-2}$），
又點(diǎn)C在直線上，
∴$\frac{k}{-2}$=2-1，解得k=-2，
∴反比例函數(shù)解析式為y₂=-$\frac{2}{x}$，
∴S_△COM=$\frac{1}{2}$|k|=1，
故①正確；
在y₁=-x-l中，-1＜0，在y₂=-$\frac{2}{x}$中，-2＜0，
∴y₁隨x的增大而減小，y₂隨x的增大而増大；
故②正確；
由兩函數(shù)圖象交于點(diǎn)C，且C點(diǎn)橫坐標(biāo)為-2，
∴方程-x-1=$\frac{k}{x}$有一個(gè)解為x=-2，
故③正確；
結(jié)合兩函數(shù)圖象可知，
當(dāng)-2＜x＜0時(shí)，直線在雙曲線的下方，
∴y_l＜y₂，
故④正確；
綜上可知正確的有四個(gè)，
故選D．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，掌握函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)即對應(yīng)兩解析式構(gòu)成的方程組的解是解題的關(guān)鍵．