Question

10．如圖，△ABC是等腰三角形，∠C=90°，D是AB的中點，點E、F分別在AC、BC邊上運動（點E不與點A、C重合），且保持AE=CF，連接DE，DF，EF．在此運動變化過程中，有下列結(jié)論：
①DE=DF；
②∠EDF=90°；
③四邊形CEDF不可能為正方形；
④四邊形CEDF的面積保持不變．
一定成立的結(jié)論有①②④（把你認為正確的序號都填上）

Answer 1

分析 ①連接CD，由SAS定理可證△CDF和△ADE全等，證明DE=DF；
②由△CDF和△ADE全等得到∠CDF=∠EDA，根據(jù)∠ADE+∠EDC=90°，得到∠EDF=90°；
③當(dāng)E為AC中點，F(xiàn)為BC中點時，四邊形CEDF為正方形；
④由割補法可知四邊形CEDF的面積保持不變．

解答 解：①連接CD；
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；
在△ADE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠A=∠DCF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴ED=DF，①正確；
②∵△ADE≌△CDF，
∴∠CDF=∠EDA，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，②正確；
③當(dāng)E、F分別為AC、BC中點時，DE⊥AC，DF⊥BC，又∠ACB=90°，
∴四邊形CEDF是矩形，
∵CE=CF，
∴四邊形CDFE是正方形，③錯誤；
④如圖2，分別過點D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于點M，N，
則DM=DN，
在Rt△DME和Rt△DNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=DN}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△DME≌Rt△DNF（HL），
∴四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積，故面積保持不變，④正確，
故答案為：①②④．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形、等腰三角形、直角三角形性質(zhì)等知識，根據(jù)圖形利用割補法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積是解題關(guān)鍵．