Question

1．如圖，點D是等邊△ABC的邊AB上一點，連接CD并以CD為邊等邊△CDE，連接BE
（1）求證：AD=BE；
（2）過點D作DF⊥BC于點F，連接AF，AF∥DE，AB=3，求線段CF的長度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，推出△ACD≌△BCE，根據(jù)求三角形的性質(zhì)得到AD=BE；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAF=∠BDE，推出∠BAF=∠BDE=∠ACD=∠BCE，證得△ABF≌△CBE，由全等三角形的性質(zhì)得到BF=BE解直角三角形即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵△ABC，△CDE是等邊三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=60°-∠BCD=∠BCE，
在△ACD與△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{DC=EC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE；

（2）解：∵AF∥DE，
∴∠BAF=∠BDE，
∵∠BDC=∠BDE+CDE=∠BDE+60°=∠BAC+∠ACD，
∴∠BAF=∠BDE=∠ACD=∠BCE，
在△ABF與△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠BCE}\\{AB=BC}\\{∠ABF=∠CBE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBE，
∴BF=BE，
∵DF⊥BC，∠ABC=60°，
∴AD=BE=BF=BD•cos∠ABC=$\frac{1}{2}$BD，
∵AB=BC，AD=BF，
∴CF=BD=2BF，
∴CF=$\frac{2}{3}$BC=$\frac{2}{3}$AB=$\frac{2}{3}$×3=2．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．