Question

11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D、E分別為AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上，∠FEC=∠B．請(qǐng)問CF=DE成立嗎？試說明理由．（提示：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．）

Answer 1

分析 根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD=BD，再根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠B=∠DCE，然后求出∠FEC=∠DCE，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得∠CED=90°，然后求出∠CED=∠ECF=90°，再利用“角邊角”證明△CDE和△ECF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可．

解答 證明：∵∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴CD=BD，
∴∠B=∠DCE，
∵∠FEC=∠B，
∴∠FEC=∠DCE，
∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴∠CED=90°，
∴∠CED=∠ECF=90°，
在△CDE和△ECF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CED=∠ECF=90°}\\{CE=EC}\\{∠FEC=∠DCE}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△ECF（ASA），
∴CF=DE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并確定出全等三角形是解題的關(guān)鍵．