Question

如圖，Rt△ABC內(nèi)接于⊙O，AC= BC，∠BAC的平分線AD與⊙O交于點D，與BC交于點E，延長BD，與AC的延長線交于點F，連接CD，G是CD的中點，連接OG。

（1）判斷OG與CD的位置關(guān)系，寫出你的結(jié)論并證明；
（2）求證：AE=BF；
（3）若OG·DE=，求⊙O的面積。

Answer 1

解：（1）猜想：OG⊥CD； 證明：如圖，連接OC、OD， ∵OC=OD，G是CD的中點， ∴由等腰三角形的性質(zhì)，有OG⊥CD； （2）證明：∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB=90°， 而∠CAE=∠CBF（同弧所對的圓周角相等）， 在Rt△ACE和Rt△BCF中， ∵∠ACE=∠BCF=90°，AC=BC，∠CAE=∠CBF， ∴Rt△ACE≌Rt△BCF（ASA）， ∴AE=BF； （3）如圖，過點O作BD的垂線，垂足為H，則H為BD的中點， ∴，即AD=2OH， 又∠CAD=∠BADCD=BD， ∴OH=OG， 在Rt△BDE和Rt△ADB中， ∵∠DBE=∠DAC=∠BAD， ∴Rt△BDE∽Rt△ADB， ∴，即BD2=AD·DE， ∴BD2=AD·DE=2OG·DE=， 又BD=FD， ∴BF=2BD， ∴BF2=4BD2=① 設(shè)AC=x，則BC=x，， ∵AD是∠BAC的平分線， ∴∠FAD=∠BAD， 在Rt△ABD和Rt△AFD中， ∵∠ADB=∠ADF=90°，AD=AD，∠FAD=∠BAD， ∴Rt△ABD≌Rt△AFD（ASA）， ∴，BD=FD， ∴CF=AF-AC=， 在Rt△BCF中，由勾股定理，得 BF2=BC2+CF2=x2+②， 由①、②，得， ∴x2=12，解得（舍去）， ∴， ∴⊙O的半徑長為， ∴S⊙O=。