Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為2的正方形OABC的兩頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，頂點(diǎn)O在原點(diǎn)（如圖1）．現(xiàn)將正方形OABC繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，當(dāng)A點(diǎn)第一次落在直線y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)．旋轉(zhuǎn)過程中，AB邊交直線y=x于點(diǎn)M，BC邊交x軸于點(diǎn)N．
（1）當(dāng)點(diǎn)A第一次落在直線y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，此時(shí)圖形旋轉(zhuǎn)了

 

度；
（2）旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)MN和AC平行時(shí)（如圖2），求旋轉(zhuǎn)角∠NOC的度數(shù)；
（3）設(shè)△MBN的周長(zhǎng)為P，在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中（如圖3），P值是否變化？請(qǐng)判斷并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）A點(diǎn)第一次落在直線y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，直線y=x與y軸的夾角是45°，OA旋轉(zhuǎn)了45°；
（2）解決本題需利用全等，根據(jù)正方形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)求出∠AOM的度數(shù)；
（3）利用全等把△MBN的各邊整理到成與正方形的邊長(zhǎng)有關(guān)的式子．

解答：解：（1）∵A點(diǎn)第一次落在直線y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，直線y=x與y軸的夾角是45°，
∴OA旋轉(zhuǎn)了45°．
故答案為：45；
（2）∵M(jìn)N∥AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．
∴∠BMN=∠BNM．
∴BM=BN．
又∵BA=BC，
∴AM=CN．
又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，
在△OAM和△OCN中，

OA=OC ∠OAM=∠OCN AM=AN

．
∴△OAM≌△OCN（SAS）．
∴∠AOM=∠CON=

1

2

（∠AOC-∠MON）=（90°-45°）=2

1

2

2.5°．
∴旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)MN和AC平行時(shí)，正方形OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為∠NOC=45°-22.5°=22.5°．

（3）在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中，P值無變化．
證明：延長(zhǎng)BA交y軸于E點(diǎn)，
則∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，
∴∠AOE=∠CON．
又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．
在△OAE和△OCN中，

∠AOE=∠CON OA=OC ∠EAO=∠NCO=90°

．
∴△OAE≌△OCN（ASA）．
∴OE=ON，AE=CN．
在△OME和△OMN中

OE=ON ∠EOM=∠NOM=45° OM=OM

．
∴△OME≌△OMN（SAS）．
∴MN=ME=AM+AE．
∴MN=AM+CN，
∴P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．
∴在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中，P值無變化．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，注意求一些線段的長(zhǎng)度或角的度數(shù)，總要整理到已知線段的長(zhǎng)度上或已知角的度數(shù)上進(jìn)而得出是解題關(guān)鍵．