Question

10．菱形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)C（3，4），反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)B．
（1）求反比例函數(shù)的解析式．
（2）將菱形OABC沿y軸向上平移，使點(diǎn)A恰好落在雙曲線上，此時(shí)，點(diǎn)B、C對應(yīng)的點(diǎn)為 M、N，且MN與雙曲線交于D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先求出OC的長，再根據(jù)菱形的性質(zhì)求出B點(diǎn)坐標(biāo)，然后把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)求出k的值，即可得出反比例函數(shù)的解析式；
（2）先根據(jù)平移的規(guī)律以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出平移后點(diǎn)A的坐標(biāo)，點(diǎn)B、C對應(yīng)的點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，再將點(diǎn)M或N的縱坐標(biāo)的值代入反比例函數(shù)的解析式，求出x的值即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)C（3，4），
∴OC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
∵四邊形OABC是菱形，
∴BC=OA=OC=5，BC∥OA，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（8，4）．
∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，
∴k=8×4=32，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{32}{x}$；

（2）∵將菱形OABC沿y軸向上平移，使點(diǎn)A恰好落在雙曲線上，
∴平移后點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，$\frac{32}{5}$），
∴點(diǎn)B、C對應(yīng)的點(diǎn)M（8，$\frac{52}{5}$），N（3，$\frac{52}{5}$），
將y=$\frac{52}{5}$代入y=$\frac{32}{x}$，得$\frac{52}{5}$=$\frac{32}{x}$，解得x=$\frac{40}{13}$，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)（$\frac{40}{13}$，$\frac{52}{5}$）．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)解析式的求法、勾股定理、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、平移的規(guī)律以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識；本題綜合性較強(qiáng)，難度適中．