Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙M過(guò)原點(diǎn)O，與x軸交于A（4，0），與y軸交于B（0，3），點(diǎn)C為劣弧AO的中點(diǎn)，連接AC并延長(zhǎng)到D，使DC=4CA，連接BD．

（1）求⊙M的半徑；

（2）證明：BD為⊙M的切線；

（3）在直線MC上找一點(diǎn)P，使|DP﹣AP|最大．

 

 

Answer 1

（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）取點(diǎn)A關(guān)于直線MC的對(duì)稱點(diǎn)O，連接DO并延長(zhǎng)交直線MC于P，此P點(diǎn)為所求，且線段DO的長(zhǎng)為|DP﹣AP|的最大值，為．

【解析】

試題分析：（1）利用A，B點(diǎn)坐標(biāo)得出AO，BO的長(zhǎng)，進(jìn)而得出AB的長(zhǎng)，即可得出圓的半徑．

（2）根據(jù)B，D 兩點(diǎn)求出直線BD表達(dá)式，求出BD與與 x 軸交點(diǎn)Q的坐標(biāo)，從而求出AB，QA，BQ的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理逆定理得出BD⊥AB，求出BD為⊙M的切線．

（3）取點(diǎn)A關(guān)于直線MC的對(duì)稱點(diǎn)O，連接DO并延長(zhǎng)交直線MC于P，此P點(diǎn)為所求，且線段DO的長(zhǎng)為|DP﹣AP|的最大值．根據(jù)D，O兩點(diǎn)求出直線DO表達(dá)式為y=x， 又在直線 DO 上的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，所以 p（2，），此時(shí)|DP﹣AP|=DO=．

試題解析：【解析】
（1）∵由題意可得出：OA2+OB2=AB2，AO=4，BO=3，∴AB=5．∴圓的半徑為．

（2）證明：由題意可得出：M（2，）．

∵C為劣弧AO的中點(diǎn)，由垂徑定理且 MC=，故 C（2，﹣1）．

如答圖1，過(guò) D 作 DH⊥x 軸于 H，設(shè) MC 與 x 軸交于 N，

則△ACN∽△ADH，

又∵DC=4AC，∴ DH=5NC=5，HA=5NA=10．∴D（﹣6，﹣5）．

設(shè)直線BD表達(dá)式為：y=ax+b，

則，解得：．∴直線BD表達(dá)式為：y=x+3．

設(shè) BD 與 x 軸交于Q，則Q（）．∴OQ=．∴．

∵，∴．∴△ABQ是直角三角形，即∠ABQ=90°．

∴BD⊥AB，BD為⊙M的切線．

（3）如答圖2，取點(diǎn)A關(guān)于直線MC的對(duì)稱點(diǎn)O，連接DO并延長(zhǎng)交直線MC于P，此P點(diǎn)為所求，且線段DO的長(zhǎng)為|DP﹣AP|的最大值．

設(shè)直線DO表達(dá)式為 y=kx，

∴﹣5=﹣6k，解得：k=．

∴直線DO表達(dá)式為 y=x

又∵在直線DO上的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，∴y=．∴P（2，）．此時(shí)|DP﹣AP|=DO=．

考點(diǎn)：1．圓的綜合題；2．勾股定理和逆定理；3．垂徑定理；4．相似三角形的判定和性質(zhì)；5．待定系數(shù)法的應(yīng)用；6．直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；7．切線的判定；8．軸對(duì)稱的應(yīng)用（最短線路問(wèn)題）．