Question

14．如圖，△ABC中，AB＞AC，延長CA至點(diǎn)G，邊BC的垂直平分線DF與∠BAG的角平分線交于點(diǎn)D，與AB交于點(diǎn)H，F(xiàn)為垂足，DE⊥AB于E．下列說法正確的是③．（填序號）
①BH=FC；②∠GAD=$\frac{1}{2}$（∠B+∠HCB）；③BE-AC=AE；④∠B=∠ADE．

Answer 1

分析 根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BH=CH，BF=CF，由于CH＞CF，于是得到BH＞CF，故①錯(cuò)誤；根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)得到∠GAD=$\frac{1}{2}∠$GAB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），由于∠ACB＞∠HCB，于是得到∠GAD$＞\frac{1}{2}$（∠B+∠HCB），故②錯(cuò)誤；過D作DN⊥AC，垂足為N，連接DB、DC，推出DN=DF，DB=DC，根據(jù)HL證Rt△DBF≌R△DCN，推出BF=CN，根據(jù)HL證Rt△DFA≌Rt△DNA，推出AN=AF，于是得到BE=AC+AN=AC+AE，即BE-AC=AE，故③正確；根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠ABC=∠HDE，故④錯(cuò)誤．

解答 證明：∵DF垂直平分BC，
∴BH=CH，BF=CF，
∵CH＞CF，
∴BH＞CF，故①錯(cuò)誤；
∵∠GAB=∠ABC+∠ACB，AD平分∠GAB，
∴∠GAD=$\frac{1}{2}∠$GAB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
∵∠ACB＞∠HCB，
∴∠GAD$＞\frac{1}{2}$（∠B+∠HCB），故②錯(cuò)誤；
過D作DN⊥AC，垂足為N，連接DB、DC，
則DN=DE，DB=DC，
又∵DF⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DEB=∠DNC=90°，
在Rt△DBE和Rt△DCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{DB=DC}\\{DE=DN}\end{array}\right.$，
∴Rt△DBE≌Rt△DCN（HL），
∴BE=CN，
在Rt△DEA和Rt△DNA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DE=DN}\end{array}\right.$，
∴Rt△DEA≌Rt△DNA（HL），
∴AN=AE，
∴BE=AC+AN=AC+AE，
即BE-AC=AE，故③正確；
∵DE⊥AB，
∴∠HDE+∠DHE=∠HBF+∠BHF=90°，
∵∠ABC=∠HDE，故④錯(cuò)誤．
故答案為：③．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，線段的垂直平分線定理，角平分線性質(zhì)等知識點(diǎn)，會添加適當(dāng)?shù)妮o助線，會利用中垂線的性質(zhì)找出全等的條件是解此題的關(guān)鍵．