Question

19．等腰直角△ABC與等腰直角△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=90°，∠DAE=90°，如圖，將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)一定度數(shù)，連BD、EC，BD與EC交于點F，連AF．求證：
（1）EC⊥BD；
（2）AF平分∠BFE．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)SAS即可求得△CAE≌△BAD，求得∠ACF=∠ABD．因為∠ANC=∠BNF，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理就可求得∠BFN=∠NAC=90°，從而證得BD⊥CE；
（2）作AG⊥CE于G，AK⊥BD于K．根據(jù)三角形面積公式即可求得AG=AK．根據(jù)角的平分線的性質(zhì)定理的逆定理即可證得FA是∠CFD的平分線．

解答 解：（1）記BD與AC交點為N，
∵∠BAC=∠DAE=90°，∠BAE=∠BAE，
∴∠CAE=∠BAD．
在△CAE和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠CAE=∠BAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴∠ACF=∠ABD．
∵∠ANC=∠BNF，
∴∠BFN=∠NAC=90°．
∴BD⊥CE．
（2）如圖1，作AG⊥CE于G，AK⊥BD于K．

由（1）知△CAE≌△BAD，
∴CE=BD，S_△CAE=S_△BAD，
∴AG=AK．
∴點A在∠CFD的平分線上．       
即 FA是∠CFD的平分線．

點評 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，角的平分線的判定等知識點，利用全等三角形得出線段相等和角相等是解題的關(guān)鍵．