Question

17．如圖所示，已知函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象與直線OA交于點(diǎn)A（1，$\sqrt{3}$），函數(shù)圖象上一點(diǎn)B，x正半軸上的任意一點(diǎn)C，OB平分∠AOC．
（1）直接寫出k的值和∠AOC的度數(shù)；
（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)P是直線OB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△ABP與△AOB相似，說(shuō)明理由，并求出此時(shí)OP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，把點(diǎn)A（1，$\sqrt{3}$）代入y=$\frac{k}{x}$，即可求出k，作AE⊥OC于E，根據(jù)tan∠AOE=$\frac{AE}{OE}$=$\sqrt{3}$，可以求出∠AOC的值．
（2）如圖2中，作BF⊥OC于F．因?yàn)镺B平分∠AOC，所以∠BOF=30°，設(shè)BF=a，則OF=$\sqrt{3}$a，可得B（$\sqrt{3}$a，a），代入y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$中，求出a即可解決問(wèn)題．
（3）如圖3中，當(dāng)∠PAB=∠AOB=30°時(shí)，△APB∽△AOB，由△APB∽△OAB，得$\frac{AB}{OB}$=$\frac{PB}{AB}$，推出PB=$\frac{（\sqrt{6}-\sqrt{2}）^{2}}{2}$=4-2$\sqrt{3}$，由此即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）如圖1中，作AE⊥OC于E．

∵A（1，$\sqrt{3}$），點(diǎn)A在y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=$\sqrt{3}$，OE=1，AE=$\sqrt{3}$，
∴tan∠AOC=$\frac{AE}{OE}$=$\sqrt{3}$，
∴∠AOC=60°．

（2）如圖2 中，作BF⊥OC于F．

∵OB平分∠AOC，
∴∠BOF=30°，設(shè)BF=a，則OF=$\sqrt{3}$a，
∴B（$\sqrt{3}$a，a），代入y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$中，得a=1或-1（舍棄），
∴點(diǎn)B坐標(biāo)（$\sqrt{3}$，1）．

（3）如圖3中，當(dāng)∠PAB=∠AOB=30°時(shí)，△APB∽△AOB．

∵OA=OB=2，∠AOB=30°，AB=$\sqrt{（\sqrt{3}-1）^{2}+（\sqrt{3}-1）^{2}}$=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
∴∠OAB=∠OBA=75°，
∴∠ABO=∠ABP，∵∠BAP=∠BOA，
∴△APB∽△OAB，
∴$\frac{AB}{OB}$=$\frac{PB}{AB}$，
∴PB=$\frac{（\sqrt{6}-\sqrt{2}）^{2}}{2}$=4-2$\sqrt{3}$，
∴OP=2-（4-2$\sqrt{3}$）=2$\sqrt{3}$-2．
∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到OP=2$\sqrt{3}$-2時(shí)，△APB∽△AOB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查反比例函數(shù)綜合題、角平分線的性質(zhì)、30度的直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、兩點(diǎn)間距離公式，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考�？碱}型．