Question

8．如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點E是射線CB上的一個動點，把△DCE沿DE折疊，點C的對應(yīng)點為C′．
（1）若點C′剛好落在對角線BD上時，BC′=4；
（2）若點C′剛好落在線段AB的垂直平分線上時，求CE的長；
（3）若點C′剛好落在線段AD的垂直平分線上時，求CE的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點B，C′，D在同一直線上得出BC′=BD-DC′=BD-DC求出即可；
（2）利用垂直平分線的性質(zhì)得出CC′=DC′=DC，則△DC′C是等邊三角形，進而利用勾股定理得出答案；
（3）利用①當(dāng)點C′在矩形內(nèi)部時，②當(dāng)點C′在矩形外部時，分別求出即可．

解答 解：（1）如圖1，∵點B，C′，D在同一直線上，
∴BC′=BD-DC′=BD-DC=10-6=4；
故答案為：4；

（2）如圖2，連接CC′，
∵點C′在AB的垂直平分線上，
∴點C′在DC的垂直平分線上，
∴CC′=DC′=DC，則△DC′C是等邊三角形，
設(shè)CE=x，易得DE=2x，
由勾股定理得：（2x）²-x²=6²，
解得：x=2$\sqrt{3}$，
即CE的長為2$\sqrt{3}$；

（3）作AD的垂直平分線，交AD于點M，交BC于點N，分兩種情況討論：
①當(dāng)點C′在矩形內(nèi)部時，如圖3，
∵點C′在AD的垂直平分線上，
∴DM=4，
∵DC′=6，
由勾股定理得：MC′=2$\sqrt{5}$，
∴NC′=6-2$\sqrt{5}$，
設(shè)EC=y，則C′E=y，NE=4-y，
故NC′²+NE²=C′E²，
即（6-2$\sqrt{5}$）²+（4-y）²=y²，
解得：y=9-3$\sqrt{5}$，
即CE=9-3$\sqrt{5}$；
②當(dāng)點C′在矩形外部時，如圖4，
∵點C′在AD的垂直平分線上，
∴DM=4，
∵DC′=6，
由勾股定理得：MC′=2$\sqrt{5}$，
∴NC′=6+2$\sqrt{5}$，
設(shè)EC=z，則C′E=a，NE=z-4
故NC′²+NE²=C′E²，
即（6+2$\sqrt{5}$）²+（z-4）²=z²，
解得：z=9+3$\sqrt{5}$，
即CE=9+3$\sqrt{5}$，
綜上所述：CE的長為9±3$\sqrt{5}$．

點評 此題主要考查了矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理等知識；利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論得出是解題關(guān)鍵．