Question

4．在?ABCD中，E是AB的中點，F(xiàn)是CD上異于C，D的任意一點，延長CB到G連接FG，已知AB=8，AD=4，∠A=60°
（1）試判斷△DAE的形狀，并說明理由；
（2）求BD的長；
（3）若DF=BG，當DF的長為多少時，△FCG的面積最大，并求出面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）先證AE=AD，再由∠A=60°，即可得出△DAE是等邊三角形；
（2）先證明△ABD是直角三角形，再根據(jù)勾股定理即可得出結果；
（3）作GH⊥AB于H，作DM⊥AB于M，設DF=BG=x，則CF=8-x，先根據(jù)銳角三角函數(shù)求出DM、BH，即可求出△FCG的面積S是x的二次函數(shù)，配方后即可求出結果．

解答 解：（1）△DAE是等邊三角形；理由如下：
∵E是AB的中點，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴AE=AD，
又∵∠A=60°，
∴△DAE是等邊三角形；
（2）∵△DAE是等邊三角形，
∴DE=AD=4=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠ADB=90°，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$；
（3）作GH⊥AB于H，作DM⊥AB于M，如圖所示：
設DF=BG=x，則CF=8-x，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥CG，
∴∠ABG=∠A=60°，
∴GH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
又∵DM=AD•sin60°=2$\sqrt{3}$，
∴△FCG的面積S=$\frac{1}{2}$（8-x）（2$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x）
=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\sqrt{3}$x+8$\sqrt{3}$
=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x-2）²+9$\sqrt{3}$，
∵-$\frac{\sqrt{3}}{4}$＜0，
∴S有最大值，當x=2，即DF=2時，S的最大值=9$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了平行四邊形的性質、等邊三角形的判定與性質、勾股定理、銳角三角函數(shù)以及面積的計算；熟練掌握平行四邊形的性質，證明三角形是直角三角形和等邊三角形以及求出三角形的高是解決問題的關鍵．