Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+2的圖象與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）、B（x₁，0），頂點(diǎn)在第一象限．下列結(jié)論：①ab＜0；②0＜b＜2；③x₁＞2；④關(guān)于x的方程ax²+bx+1=0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根；⑤將該拋物線(xiàn)沿某一方向平移后所得拋物線(xiàn)y=ax²+bx與x軸交于點(diǎn)C、D，則AB-CD=2．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、2個(gè)
• B、3個(gè)
• C、4個(gè)
• D、5個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn),二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

專(zhuān)題：

分析：采用形數(shù)結(jié)合的方法解題，根據(jù)拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向，對(duì)稱(chēng)軸的位置判斷a、b、c的符號(hào)，把兩根關(guān)系與拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)情況結(jié)合起來(lái)分析問(wèn)題．

解答： 解：如圖，對(duì)稱(chēng)軸在y軸的右側(cè)，則a、b異號(hào)，即ab＜0．故①正確；
∵圖象過(guò)A點(diǎn)，
∴a-b+2=0，解得a=b-2，且a＜0，b＞0，
∴b-2＜0，可得0＜b＜2，
故②正確；
由根與系數(shù)的關(guān)系可得-1×x₁=

2

a

=

2

b-2

，
∴x₁=

2

2-b

，
∵0＜b＜2，
∴

2

2-b

＞1，故③不正確；
令y=ax²+bx+1，則其圖象相當(dāng)于y=ax²+bx+2的圖象向下平移一個(gè)單位，且最大值大于2，
∴y=ax²+bx+1的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴方程ax²+bx+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故④正確；
由題可知AB=x₁+1=

2

2-b

+1=

4-b

2-b

，
在y=ax²+bx中，令y=0可得ax²+bx=0，可解得x=0或x=-

b

a

=

b

2-b

，
∴CD=

b

2-b

，
∴AB-CD=

4-b

2-b

-

b

2-b

=2，故⑤正確；
綜上可知正確的為①②④⑤共4個(gè)，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會(huì)利用對(duì)稱(chēng)軸的范圍求2a與b的關(guān)系，根的判別式的熟練運(yùn)用．