Question

15．在平面坐標(biāo)系中，正方形ABCD的位置如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2），延長CB交于x軸于點(diǎn)A₁，作正方形A₁B₁C₁C，延長C₁B₁交x軸于點(diǎn)A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁，…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2016個(gè)正方形A₂₀₁₅B₂₀₁₅C₂₀₁₅C₂₀₁₄的面積為5×（$\frac{9}{4}$）²⁰¹⁵．

Answer 1

分析 根據(jù)點(diǎn)A、D的坐標(biāo)求出OA、OD的長，然后利用勾股定理列式求出AD，再求出△AOD和△A₁BA相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出A₁B，從而求出第二個(gè)正方形的邊長A₁C=A₁B₁，同理求出第三個(gè)正方形的邊長A₂C₁=A₂B₂，根據(jù)規(guī)律求出第2015個(gè)正方形的邊長，再根據(jù)正方形的面積公式列式計(jì)算即可得解．

解答 解：∵點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)D（0，2），
∴OA=1，OD=2，
∴AD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵∠ADO+∠DAO=180°-90°=90°，
∠DAO+∠BAA₁=180°-90°=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
又∵∠AOD=∠ABA₁=90°，
∴△AOD∽△A₁BA，
∴$\frac{OD}{AB}$=$\frac{OA}{{A}_{1}B}$，
∴A₁B=$\frac{OA•AB}{OD}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴第二個(gè)正方形的邊長：A₁C=A₁B₁=$\sqrt{5}$+$\frac{\sqrt{5}}{2}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
同理A₂B₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{3\sqrt{5}}{2}$=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$，
∴第三個(gè)正方形的邊長：A₂C₁=A₂B₂=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$+$\frac{3\sqrt{5}}{4}$=$\frac{9\sqrt{5}}{4}$=（$\frac{3}{2}$）²×$\sqrt{5}$，
第四個(gè)正方形的邊長：$\frac{9\sqrt{5}}{4}$+$\frac{9\sqrt{5}}{8}$=$\frac{27\sqrt{5}}{8}$=（$\frac{3}{2}$）³×$\sqrt{5}$…，
第2015個(gè)正方形的邊長：（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁵×$\sqrt{5}$，
∴第2015個(gè)正方形的面積為[（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁵×$\sqrt{5}$]²=5×（$\frac{9}{4}$）²⁰¹⁵．
故答案為：5×（$\frac{9}{4}$）²⁰¹⁵．

點(diǎn)評 此題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，依次求出正方形的邊長是解題的關(guān)鍵．