Question

如圖，相距40km的兩個城鎮(zhèn)A，B之間有一個圓形的湖泊，它的圓心落在AB連線的中點O，半徑為10km，現(xiàn)要修建一條連接兩城鎮(zhèn)的公路．經(jīng)過論證，認為AA′+

A′B′

+B′B為最短路線．（其中AA′，BB′都與⊙O相切），你能計算出這段公路的長度嗎？（結果精確到0.1km）

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),弧長的計算

專題：應用題

分析：連結OA′、OB′，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得OA′⊥AA′，OB′⊥BB′，再計算出OA=OB=

1

2

AB=20，在Rt△OAA′中，利用正弦的定義可求出∠A=30°，則∠AOA′=60°，AA′=

3

OA′=10

3

，同理可得∠BOB′=60°，BB′=10

3

，于是∠A′OB′=60°，接著根據(jù)弧長公式計算出弧A′B′的長度，然后求AA′+

A′B′

的長+B′B的值即可．

解答：解：連結OA′、OB′，如圖，
∵AA′，BB′都與⊙O相切，
∴OA′⊥AA′，OB′⊥BB′，
∵點O為AB的中點，
∴OA=OB=

1

2

AB=20，
而OA′=OB′=10，
在Rt△OAA′中，∵sin∠A=

OA′

OA

=

10

20

=

1

2

，
∴∠A=30°，
∴∠AOA′=60°，AA′=

3

OA′=10

3

，
同理可得∠BOB′=60°，BB′=10

3

，
∴∠A′OB′=60°，
∴弧A′B′的長度=

60•π•10

180

=

10

3

π，
∴這段公路的長度=10

3

+

10

3

π+10

3

≈45.1（km）．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．也考查了弧長公式．