Question

如果我們定義：“到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)外心．”例如，如圖（1），若PC=PB，則P為△ABC的準(zhǔn)外心．
（1）如圖（1），觀察并思考，△ABC的準(zhǔn)外心有

 

個(gè)；
（2）如圖（2），CD為等邊三角形ABC的高，準(zhǔn)外心P在高CD上，且PD=

1

2

AB，則∠APB的度數(shù)為

 

；
（3）如圖（3），直線y=

4

3

x+8點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，若點(diǎn)P是△AOB的準(zhǔn)外心，且點(diǎn)P在OB上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題,三角形的外接圓與外心

專題：新定義

分析：（1）根據(jù)題中的新定義得到到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，即△ABC的準(zhǔn)外心有無數(shù)個(gè)；
（2）根據(jù)題意得到三角形PAD與三角形PBD都為等腰直角三角形，進(jìn)而確定出∠APB的度數(shù)；
（3）根據(jù)直線與y軸交于點(diǎn)B，確定出B的坐標(biāo)，分兩種情況考慮：（i）若PB=PO，即P為OB中點(diǎn)時(shí)，求出P坐標(biāo)；（ii）若PA=PB，即P為線段AB垂直平分線與y軸交點(diǎn)時(shí)，求出P坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）如圖（1），觀察并思考，△ABC的準(zhǔn)外心有無數(shù)個(gè)；
（2）∵CD為等邊三角形ABC的高，
∴AD=BD=

1

2

AB，
∵PD=

1

2

AB，
∴PA=AD=BD，
∵∠PDA=∠PDB=90°，
∴△PAD與△PBD都為等腰直角三角形，
∴∠APD=∠BPD=45°，
∴∠APB=90°；
（3）對于直線y=

4

3

x+8，令x=0，得到y(tǒng)=8；令y=0，得到x=-6，
∴A（-6，0），B（0，8），
分兩種情況考慮：
（i）當(dāng)P₁為線段OB中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P₁是△AOB的準(zhǔn)外心，此時(shí)P₁坐標(biāo)為（0，4）；
（ii）當(dāng)P₂是邊AB垂直平分線與y軸交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P₂是△AOB的準(zhǔn)外心，
線段AB的垂直平分線方程為y-4=-

3

4

（x+3），
令x=0，得到y(tǒng)=4-

9

4

=

7

4

，此時(shí)P₂坐標(biāo)為（0，

7

4

）．
故答案為：（1）無數(shù)；（2）90°．

點(diǎn)評：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．