Question

1．如圖，已知點(diǎn)P為∠AOB的角平分線上的一定點(diǎn)，D是射線OA上的一定點(diǎn)，E是OB上的某一點(diǎn)，滿足PE=PD，則∠OEP與∠ODP的數(shù)量關(guān)系是∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°．

Answer 1

分析 以O(shè)為圓心，以O(shè)D為半徑作弧，交OB于E₂，連接PE₂，根據(jù)SAS證△E₂OP≌△DOP，推出E₂P=PD，得出此時(shí)點(diǎn)E₂符合條件，此時(shí)∠OE₂P=∠ODP；以P為圓心，以PD為半徑作弧，交OB于另一點(diǎn)E₁，連接PE₁，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)推出∠PE₂E₁=∠PE₁E₂，求出∠OE₁P+∠ODP=180°即可．

解答 解：∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°，理由如下：
以O(shè)為圓心，以O(shè)D為半徑作弧，交OB于E₂，連接PE₂，如圖所示：
∵在△E₂OP和△DOP中，$\left\{\begin{array}{l}{O{E}_{2}=OD}&{\;}\\{∠{E}_{2}OP=∠DOP}&{\;}\\{OP=OP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△E₂OP≌△DOP（SAS），
∴E₂P=PD，
即此時(shí)點(diǎn)E₂符合條件，此時(shí)∠OE₂P=∠ODP；
以P為圓心，以PD為半徑作弧，交OB于另一點(diǎn)E₁，連接PE₁，
則此點(diǎn)E₁也符合條件PD=PE₁，
∵PE₂=PE₁=PD，
∴∠PE₂E₁=∠PE₁E₂，
∵∠OE₁P+∠E₂E₁P=180°，
∵∠OE₂P=∠ODP，
∴∠OE₁P+∠ODP=180°，
∴∠OEP與∠ODP所有可能的數(shù)量關(guān)系是：∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°，
故答案為：∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生的猜想能力和分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．