Question

4．如圖，在⊙O中，直徑AB垂直弦CD于E，過點A作∠DAF=∠DAB，過點D作AF的垂線，垂足為F，交AB的延長線于點P，連接CO并延長交⊙O于點G，連接EG，已知DE=4，AE=8．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）求證：OC²=OE•OP；
（3）求線段EG的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠DAB=∠ADO，再由已知條件得出∠ADO=∠DAF，證出OD∥AF，由已知DF⊥AF，得出DF⊥OD，即可得出結(jié)論；
（2）由射影定理得出OD²=OE•OP，由OC=OD，即可得出OC²=OE•OP；
（3）連接DG，由垂徑定理得出DE=CE=4，得出CD=8，由勾股定理求出DG，再由勾股定理求出EG即可．

解答 （1）證明：連接OD，如圖1所示：
∵OA=OD，
∴∠DAB=∠ADO，
∵∠DAF=∠DAB，
∴∠ADO=∠DAF，
∴OD∥AF，
又∵DF⊥AF，
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切線；
（2）證明：由（1）得：DF⊥OD，
∴∠ODF=90°，
∵AB⊥CD，
∴由射影定理得：OD²=OE•OP，
∵OC=OD，
∴OC²=OE•OP；
（3）解：連接DG，如圖2所示：
∵AB⊥CD，
∴DE=CE=4，
∴CD=DE+CE=8，
設(shè)OD=OA=x，則OE=8-x，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE²+DE²=OD²，
即（8-x）²+4²=x²，
解得：x=5，
∴CG=2OA=10，
∵CG是⊙O的直徑，
∴∠CDG=90°，
∴DG=$\sqrt{C{G}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴EG=$\sqrt{D{G}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{13}$．

點評 本題是圓的綜合題目，考查了切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定、射影定理、相交弦定理、余弦定理、三角函數(shù)等知識；本題綜合性強，有一定難度，熟練掌握切線的判定和勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．