Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．
（1）若∠AFC=45°，求證：BF⊥AD；
（2）若AD為角平分線，BF⊥AD，連接CE．
①求證：AD=2BF；
②求證：AB=AC+CD．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）由∠AFC=∠ABC可得出A、B、F、C四點(diǎn)共圓，再結(jié)合圓周角定理可得出∠AFB=∠ACB=90°，可得出結(jié)論；
（2）①延長BF交AC的延長線于點(diǎn)E，則由條件可知△ABE為等腰三角形，結(jié)合條件可證明△ACD≌△BCE，可得出結(jié)論，
②過D作DG⊥AB于點(diǎn)G，可證得△ACD≌△AGD，得到AC=AE，CD=DE，且DE=DB，可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠AFC=45°，
∴A、B、F、C四點(diǎn)共圓，
∴∠AFB=∠ACB=90°，
∴BF⊥AD；
（2）證明：①如圖1，延長BF交AC的延長線于點(diǎn)E，

∵AD為∠CAB的平分線，AF⊥BF，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AE=AB，
∴BE=2BF，∠ECAD=∠EBC，
在Rt△ACD和Rt△BCE中，

∠CAD=∠EBC AC=BC ∠ACD=∠ECB

，
∴△ACD≌△BCE（ASA），
∴AC=BE=2BF；
②如圖2，過D作DG⊥AB于點(diǎn)G，

∵AD平分∠CAB，
∴DC=DG，
在Rt△ACD和Rt△AGD中，

AD=AD CD=CG

，
∴Rt△ACD≌Rt△AGD（HL），
∴AG=AC，GD=CD，
∵∠ACB=90°，AC=BC
∴∠DBG=45°，
∴BG=DG，
∴AB=AG+GB=AC+DG=AC+CD．

點(diǎn)評：本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)及等腰三角形、角平分線的性質(zhì)的應(yīng)用，尋找、構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵．