Question

【題目】在中，，翻折，使點(diǎn)落在斜邊上某一點(diǎn)處，折痕為（點(diǎn)、分別在邊、上）

當(dāng)時(shí)，若與相似（如圖），求的長(zhǎng)；

當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)（如圖），與相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2），理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）如圖1，連接CD，由已知條件得到△ABC是等腰直角三角形由于△CEF與△ABC相似，于是得到△CEF也是等腰直角三角形求得∠CEF=∠A=45°，于是得到EF∥AB，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)等等EF⊥CD，求出CD⊥AB，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）如圖2，連接CD，與EF交于點(diǎn)Q，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CD=DB=AB，于是得到∠DCB=∠B，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到∠CQF=∠DQF=90°，推出∠DCB+∠CFE=90°，由于∠B+∠A=90°，于是得到∠CFE=∠A，即可得到結(jié)論．

如圖，連接，

∵，

∴是等腰直角三角形

又∵與相似，

∴也是等腰直角三角形

∴，

∴，

由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)知：，

∴，

又∵，

∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，

∴；

當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，與相似，

理由如下：如圖，連接，與交于點(diǎn)，

∵是的中線(xiàn)，

∴，

∴，

由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知，，

∴，

∵，

∴，

又∵，

∴．