Question

19．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，四邊形ABCD為正方形，已知點(diǎn)B（0，3），C（4，0）．
（1）過點(diǎn)作DE⊥x軸，垂足為E，△OBC與△ECD全等嗎？請說明理由；
（2）寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）用同樣的方法求點(diǎn)A的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形性質(zhì)和垂直得出∠DEC=∠BOC=∠BCD=90°，BC=CD，求出∠OBC=∠DCE，根據(jù)全等三角形的判定推出即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出OB=CE，OC=DE，求出DE=OC=4，CE=OB=3，求出OE=7，即可得出答案；
（3）過A作AF⊥y軸于F，同法求出△AFB≌△BOC，推出OB=AF，BF=OC，即可得出答案．

解答 解：（1）△OBC與△ECD全等，
理由是：∵DE⊥x軸，四邊形ABCD是正方形，
∴∠DEC=∠BOC=∠BCD=90°，BC=CD，
∴∠OBC+∠OCB=90°，∠OCB+∠DCE=90°，
∴∠OBC=∠DCE，
在△BOC和△CED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBC=∠DCE}\\{∠BOC=∠DEC}\\{BC=DC}\end{array}\right.$，
∴△BOC≌△CED；

（2）∵△BOC≌△CED，
∴OB=CE，OC=DE，
∵點(diǎn)B（0，3），C（4，0），
∴OB=3，OC=4，
∴DE=OC=4，CE=OB=3，
∴OE=3+4=7，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（7，4）；

（3）如圖，過A作AF⊥y軸于F，

∵AF⊥y軸，四邊形ABCD是正方形，
∴∠AFB=∠BOC=∠ABC=90°，BC=AB，
∴∠FAB+∠FBA=90°，∠FBA+∠OBC=90°，
∴∠FAB=∠OBC，
在△AFB和△BOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAB=∠OBC}\\{∠AFB=∠BOC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△AFB≌△BOC，
∴OB=AF，BF=OC，
∵點(diǎn)B（0，3），C（4，0），
∴OB=3，OC=4，
∴BF=OC=4，AF=OB=3，
∴OF=3+4=7，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，7）．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，正方形的性質(zhì)的應(yīng)用，能推出兩三角形全等是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．