Question

如圖，DB為半圓的直徑，且 BD=2，A為BD延長線上一點，AC切半圓于點E，BC⊥AC于點C，交半圓于點F．
（1）連接BE，求證：BE平分∠DBC；
（2）當(dāng)AD為何值時，四邊形BOEF為菱形？

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),菱形的判定

專題：證明題

分析：（1）證明：連結(jié)OE，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得OE⊥AC，而BC⊥AC，則OE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠2=∠3，加上∠1=∠3，所以∠1=∠2；
（2）連結(jié)OF，由于OE∥BF，則當(dāng)EF∥OB時，四邊形BOEF為平行四邊形，加上OB=OE，則此時四邊形BOEF為菱形，所以EF=BF=OB=OE=2，可判定△OEF和△OBF都是等邊三角形，得到∠BOF=∠EOF=60°，于是計算出∠AOE=60°，在Rt△AOE中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可計算出OA=2OE=4，易得AD=OA-OD=2．

解答：（1）證明：連結(jié)OE，如圖，
∵AC切半圓于點E，
∴OE⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∴∠2=∠3，
而OE=OB，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
∴BE平分∠DBC；
（2）解：連結(jié)OF，
∵OE∥BF，
∴當(dāng)EF∥OB時，四邊形BOEF為平行四邊形，
而OB=OE，則此時四邊形BOEF為菱形，
∴EF=BF=OB=OE=2，
∴△OEF和△OBF都是等邊三角形，
∴∠BOF=∠EOF=60°，
∴∠AOE=60°，
在Rt△AOE中，∠A=30°，
∴OA=2OE=4，
∴AD=OA-OD=4-2=2，
即當(dāng)AD為2時，四邊形BOEF為菱形．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．運用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了菱形的判定．