Question

（1）如圖1，設(shè)正三角形ABC的外接圓圓心為O，半徑為R，將其沿直線l向右翻滾，當(dāng)正三角形翻滾一周時，其圓心O經(jīng)過的路程是多少？
（2）如圖2，設(shè)正方形ABCD的外接圓圓心為O，半徑為R，將其沿直線l向右翻滾一周，其圓心O經(jīng)過的路程是多少？
（3）猜想：如圖3，設(shè)正多邊形的外接圓圓心為O，半徑為R，將其沿直線l向右翻滾一周，其圓心O經(jīng)過的路程是多少？請說明理由．
（4）進一步猜想：任何一個三角形都有一個外接圓（設(shè)外接圓的半徑為R），若將該三角形翻滾一周，其外接圓圓心所經(jīng)過的路程是否是一個定值？為什么？請以任意三角形為例說明（如圖4）．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）當(dāng)正三角形ABC向右翻滾一周時，其中心O經(jīng)過的路線是三條等弧，根據(jù)弧長公式求出一條弧長，繼而可得出答案．
（2）滾過的路程相當(dāng)于4個90°的圓弧的長，繼而代入弧長公式計算即可．
（3）當(dāng)n邊形向右翻滾一周時，其中心O經(jīng)過的路線是n條等弧，這些弧的半徑為R，所對的圓心角為

360°

n

，繼而代入計算即可．
（4）是定值2πR，按照前面的計算思想進行證明即可．

解答：解：（1）當(dāng)正三角形ABC向右翻滾一周時，其中心O經(jīng)過的路線是三條等弧，
所以其中心O經(jīng)過的路程為：

120πR

180

×3=2πR．

（2）中心O經(jīng)過的路程為

90πR

180

×4=2πR．

（3）當(dāng)n邊形向右翻滾一周時，其中心O經(jīng)過的路線是n條等弧，這些弧的半徑為R，所對的圓心角為

360°

n

，
所以中心O經(jīng)過的路程為

360 n •π•R

180

×n=2πR．

（4）是定值2πR，理由如下：
在△ABC中，設(shè)∠A=α，∠B=β，∠C=γ，△ABC的外接圓⊙O的半徑為R，
把△ABC沿直線l向右翻滾一周時，其外心O經(jīng)過的路線是三條弧，
當(dāng)AC邊與直線l重合時，C與C'重合，A與A'重合，B與B'重合，
連接CO、C'O'，則∠ACO=∠A'C'O'，
所以∠OCO'=∠ACA'=180°-γ，
所以l=

(180-γ)πR

180

，
同理，另兩條弧長分別為：

(180-α)πR

180

，

(180-β)πR

180

，
所以外心O所經(jīng)過的路程為2πR．
通過以上猜想可得結(jié)論為：把圓內(nèi)接多邊形翻滾一周時，多邊形的外心所經(jīng)過的路程是一個定值．

點評：此題考查了圓的綜合題，弧長的計算，解答本題的關(guān)鍵是掌握一些特殊圖形的性質(zhì)，熟練記憶弧長公式，有一定的難度，注意培養(yǎng)猜測、推理能力．