Question

12．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE，則∠AEB的度數(shù)為60°，線段AD、BE之間的關(guān)系相等．
（2）拓展探究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．①請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)，并說明理由；②當(dāng)CM=5時(shí)，AC比BE的長度多6時(shí)，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）易證∠ACD=∠BCE，即可求證△ACD≌△BCE，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可求得AD=BE，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等即可求得∠AEB的大��；
（2）易證△ACD≌△BCE，利用勾股定理進(jìn)行解答即可．

解答 解：（1）∵∠ACB=∠DCE，∠DCB=∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠CEB=∠ADC=180°-∠CDE=120°，
∴∠AEB=∠CEB-∠CED=60°，
故答案為：60°；相等；
（2）∠AEB=90°，
∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．
∵△DCE為等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∵點(diǎn)A、D、E在同一直線上，
∴∠ADC=135°．
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°．
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME=5．
在Rt△ACM中，AM²+CM²=AC²，
設(shè)：BE=AD=x，則AC=（6+x），
（x+5）²+5²=（x+6）²，
解得：x=7．
所以可得：AE=AD+DM+ME=17．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△ACD≌△BCE是解題的關(guān)鍵．