Question

11．如圖，已知A、B兩點坐標分別為（8，0）、（0，6），P是△AOB外接圓上的一點，且∠AOP=45°，則點P的坐標為（　�。�

• A． （8，6）
• B． （7，7）
• C． （7$\sqrt{2}$，7$\sqrt{2}$）
• D． （5$\sqrt{2}$，5$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 作PH⊥x軸于H，連結(jié)PA、PB，由A、B兩點的坐標可求出AB，由△PAB和△POH都為等腰直角三角形，得出PA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，PH=OH，設(shè)OH=t，在在Rt△PHA中，運用勾股定理求出t的值，即可得出點P的坐標．

解答 解：如圖，作PH⊥x軸于H，連結(jié)PA、PB，
∵∠AOB=90°，
∴AB為△AOB外接圓的直徑，
∴∠BPA=90°，
∵A、B兩點的坐標分別為（8，0）、（0，6），
∴OA=8，OB=6，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=10，
∵∠AOP=45°，
∴∠ABP=45°，
∴△PAB和△POH都為等腰直角三角形，
∴PA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=5$\sqrt{2}$，PH=OH，
設(shè)OH=t，則PH=t，AH=8-t，
在Rt△PHA中，
∵PH²+AH²=PA²，即t²+（8-t）²=（5$\sqrt{2}$）²，
解得t₁=7，t₂=1（舍去），
∴P點坐標為（7，7）．
故選B．

點評 本題考查的是圓周角定理及等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出等腰直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．