Question

如圖，直線y=-x+3與x，y軸分別交于點(diǎn)A，B，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P（2，1）．
（1）求該反比例函數(shù)的關(guān)系式；
（2）設(shè)PC⊥y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′；
①求△A′BC的周長(zhǎng)和sin∠BA′C的值；
②對(duì)大于1的常數(shù)m，求x軸上的點(diǎn)M的坐標(biāo)，使得sin∠BMC=

1

m

．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題,待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式,勾股定理,矩形的判定與性質(zhì),垂徑定理,直線與圓的位置關(guān)系,銳角三角函數(shù)的定義

專題：壓軸題,探究型

分析：（1）設(shè)反比例函數(shù)的關(guān)系式y(tǒng)=

k

x

，然后把點(diǎn)P的坐標(biāo)（2，1）代入即可．
（2）①先求出直線y=-x+3與x、y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，然后運(yùn)用勾股定理即可求出△A′BC的周長(zhǎng)；過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，運(yùn)用面積法可以求出CD長(zhǎng)，從而求出sin∠BA′C的值．
②由于BC=2，sin∠BMC=

1

m

，因此點(diǎn)M在以BC為弦，半徑為m的⊙E上，因而點(diǎn)M應(yīng)是⊙E與x軸的交點(diǎn)．然后對(duì)⊙E與x軸的位置關(guān)系進(jìn)行討論，只需運(yùn)用矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)就可求出滿足要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)反比例函數(shù)的關(guān)系式y(tǒng)=

k

x

．
∵點(diǎn)P（2，1）在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，
∴k=2×1=2．
即反比例函數(shù)的關(guān)系式y(tǒng)=

2

x

．

（2）①過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，如圖1所示．
當(dāng)x=0時(shí)，y=0+3=3，
則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3）．OB=3．
當(dāng)y=0時(shí)，0=-x+3，解得x=3，
則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），OA=3．
∵點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′，
∴OA′=OA=3．
∵PC⊥y軸，點(diǎn)P（2，1），
∴OC=1，PC=2．
∴BC=2．
∵∠AOB=90°，OA′=OB=3，OC=1，
∴A′B=3

2

，A′C=

10

．
∴△A′BC的周長(zhǎng)為3

2

+

10

+2．
∵S_△A′BC=

1

2

BC•A′O=

1

2

A′B•CD，
∴BC•A′O=A′B•CD．
∴2×3=3

2

×CD．
∴CD=

2

．
∵CD⊥A′B，
∴sin∠BA′C=

DC

A′C

=

2

10

=

5

5

．
∴△A′BC的周長(zhǎng)為3

2

+

10

+2，sin∠BA′C的值為

5

5

．
②當(dāng)1＜m＜2時(shí)，
作經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C且半徑為m的⊙E，
連接CE并延長(zhǎng)，交⊙E于點(diǎn)P，連接BP，
過(guò)點(diǎn)E作EG⊥OB，垂足為G，
過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸，垂足為H，如圖2①所示．
∵CP是⊙E的直徑，
∴∠PBC=90°．
∴sin∠BPC=

BC

PC

=

2

2m

=

1

m

．
∵sin∠BMC=

1

m

，
∴∠BMC=∠BPC．
∴點(diǎn)M在⊙E上．
∵點(diǎn)M在x軸上
∴點(diǎn)M是⊙E與x軸的交點(diǎn)．
∵EG⊥BC，
∴BG=GC=1．
∴OG=2．
∵∠EHO=∠GOH=∠OGE=90°，
∴四邊形OGEH是矩形．
∴EH=OG=2，EG=OH．
∵1＜m＜2，
∴EH＞EC．
∴⊙E與x軸相離．
∴x軸上不存在點(diǎn)M，使得sin∠BMC=

1

m

．
②當(dāng)m=2時(shí)，EH=EC．
∴⊙E與x軸相切．
Ⅰ．切點(diǎn)在x軸的正半軸上時(shí)，如圖2②所示．
∴點(diǎn)M與點(diǎn)H重合．
∵EG⊥OG，GC=1，EC=m，
∴EG=

EC2-GC2

=

3

．
∴OM=OH=EG=

3

．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

3

，0）．
Ⅱ．切點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，
同理可得：點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-

3

，0）．
③當(dāng)m＞2時(shí)，EH＜EC．
∴⊙E與x軸相交．
Ⅰ．交點(diǎn)在x軸的正半軸上時(shí)，
設(shè)交點(diǎn)為M、M′，連接EM，如圖2③所示．
∵∠EHM=90°，EM=m，EH=2，
∴MH=

EM2-EH2

=

m2-22

=

m2-4

．
∵EH⊥MM′，
∴MH=M′H．
∴M′H═

m2-4

．
∵∠EGC=90°，GC=1，EC=m，
∴EG=

EC2-GC2

=

m2-12

=

m2-1

．
∴OH=EG=

m2-1

．
∴OM=OH-MH=

m2-1

-

m2-4

，
∴OM′=OH+HM′=

m2-1

+

m2-4

，
∴M（

m2-1

-

m2-4

，0）、M′（

m2-1

+

m2-4

，0）．
Ⅱ．交點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，
同理可得：M（-

m2-1

+

m2-4

，0）、M′（-

m2-1

-

m2-4

，0）．
綜上所述：當(dāng)1＜m＜2時(shí)，滿足要求的點(diǎn)M不存在；
當(dāng)m=2時(shí)，滿足要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

3

，0）和（-

3

，0）；
當(dāng)m＞2時(shí)，滿足要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

m2-1

-

m2-4

，0）、（

m2-1

+

m2-4

，0）、（-

m2-1

+

m2-4

，0）、（-

m2-1

-

m2-4

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的關(guān)系式、勾股定理、三角函數(shù)的定義、矩形的判定與性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、垂徑定理等知識(shí)，考查了用面積法求三角形的高，考查了通過(guò)構(gòu)造輔助圓解決問(wèn)題，綜合性比較強(qiáng)，難度系數(shù)比較大．由BC=2，sin∠BMC=

1

m

聯(lián)想到點(diǎn)M在以BC為弦，半徑為m的⊙E上是解決本題的關(guān)鍵．